반응형 선형대수87 1.1b 벡터의 덧셈, 뺄셈(문제3~5) 벡터의 기본적인 연산인 덧셈과 뺄셈에 대한 문제를 풀어보겠습니다. 3. 두 벡터 $v$, $w$의 합과 차가 각각 $v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 5 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$, $v$ – $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 5 \end{array} \end{bmatrix}$일 때 $v$, $w$을 역으로 계산하고 그려보아라. 답) ($v$ + $w$) + ($v$ – $w$) = 2$v$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 5+1 \\ 1+5 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r.. 2022. 9. 1. 1.1a 벡터 선형 결합의 기하학적 표현(문제1~2) 벡터들의 덧샘 연산과 선형 결합이 기하학적으로 어떻게 표현될 수 있는지 알아볼 수 있는 문제를 풀어보겠습니다. 문제들은 Gilbert Strang의 교과서의 것입니다. 1. 다음 벡터들의 모든 선형 결합을 선, 평면, $R^{3}$ 등으로 표현하라: (a) $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \end{bmatrix}$와 $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array} \end{bmatrix}$ 답) 벡터가 두 개이지만, 두번째 벡터($y$)는 첫번째 벡터($x$)와 방향이 같습니다. 즉, $y$ = $3x$. 따라서 두 벡터의 모든 선형 결합은 $cx$이 됩니다. 이는 $R^{3}$.. 2022. 8. 30. 6.3a 미분방정식과 행렬 이번 내용은 상수가 계수인 미분 방정식들을 앞서 배운 고유값과 고유벡터 등의 선형 대수학 개념을 이용해 이해하는 것입니다. 구체적으로, 미분방정식이 $du/dt$ = $Au$와 같이 행렬 $A$를 포함하게 되는데요. 이 경우는 방정식의 해가 벡터입니다. 그러면 미분 방정식의 기본적인 내용에서 시작하겠습니다. 1. 미분 방정식 $du/dt$ = $u$ 또는 $du/dt$ = $\lambda$$u$ $\frac{du}{dt}$ = $u$는 시간 $t$에 대한 가장 기본적인 미분 방정식입니다. 이 방정식의 해는 $u(t)$ = $Ce^{t}$입니다. 이는 $e^{t}$를 $t$로 미분해도 그대로 $e^{t}$이기 때문입니다. (즉, $\frac{d(et)}{dt}$ = $e^{t}$) 그리고 $C$는 $u(0.. 2022. 6. 29. 6.2c 행렬의 닮음(Similarity) 어떤 행렬들이 같은 고유값들을 갖고 있다면, 그 행렬들은 각각의 고유값행렬 $\Lambda$와 고유벡터행렬 $X$를 써서 $A$ = $X\Lambda$$X^{-1}$와 같이 쓸 수 있습니다. 이처럼 같은 Λ로 묶을 수 있다면 그 행렬들은 닮았다고 합니다. 1. 닮음행렬(Similar Matrices) 앞서 행렬의 대각화에서 어떤 행렬 $A$가 대각화가 가능한 경우, 고유값행렬 $\Lambda$와 고유벡터행렬 $X$를 이용하여 $A$ = $X\Lambda$$X^{-1}$로 쓸 수 있다고 배웠습니다. (참조 6.2a 행렬 대각화) 만약 다른 고유벡터행렬 $X$’을 이용하면 동일한 고유값을 갖는 다른 행렬 $A$’ = $X$’$\Lambda$$X$’$^{-1}$를 만들 수 있습니다. 이처럼 동일한 고유값을 갖.. 2022. 5. 11. 6.2b 행렬의 대각화 가능성(diagonalizability) 앞서 행렬 대각화의 이점을 살펴봤지만, 행렬 대각화가 언제나 가능한 것은 아니고 조건이 있습니다. 만약 $n$ × $n$ 행렬이 있다면, 행렬이 $n$ 개의 서로 다른 고유값을 가져야 한다는 것입니다. 1. 행렬 대각화가 불가능한 예 $A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \end{pmatrix}$ 고유값을 찾기 위해 det ($A\:-\:{\lambda}I$) = 0을 풀면 det ($A\:-\:{\lambda}I$) = (1 $-$ $\lambda$)(1 + $\lambda$) + 1 = $\lambda^{2}$ 따라서 고유값은 0입니다. 여기서 중요한 것은 고유값이 두 개인데, 같은 값이라는 것입니다. $\lamb.. 2022. 5. 7. 6.2a 행렬 대각화(diagonalization) 이번 내용은 행렬 대각화입니다. 행렬 대각화는 어떤 행렬이 주어졌을 때 이와 같은 고유값을 갖는 대각행렬을 만드는 과정입니다. 행렬 $A$의 고유 벡터들로 이뤄진 행렬을 $X$라고 하면, 이에 대응하는 고유값 대각행렬 $\Lambda$는 $A$ = $X{\Lambda}X^{-1}$의 관계를 갖습니다. 이번 포스팅에서는 행렬 대각화가 어떻게 가능한지와 그 쓰임새를 알아보겠습니다. 1. 대각행렬의 고유값 대각행렬은 대각 성분을 제외한 모든 성분이 0인 행렬을 말합니다. 행렬 $A$가 대각행렬이라면 대각 성분 $a_{ii}$만이 0이 아닐 수 있습니다. 사실 대각행렬의 고유값은 구하기 쉽습니다. 특성방정식 det ($A\:-\:{\lambda}I$) = 0은 ($a_{11}\:-\:{\lambda}$)($a_.. 2022. 5. 6. 6.1d 대칭행렬의 고유벡터 대칭행렬의 고유벡터들은 서로 수직 합니다. 이번 포스팅에서는 이를 증명하고, 프로젝션 행렬의 예로 확인해보겠습니다. 1. 대칭행렬의 고유벡터들은 수직 한다. 대칭행렬 $A$의 고유벡터 $x$와 $y$가 있다고 가정하겠습니다. 두 벡터는 각각 고유값 ${\lambda}_{1}$과 ${\lambda}_{2}$에 대응하고, ${\lambda}_{1}$ ≠ ${\lambda}_{2}$입니다. 따라서 $Ax$ = ${\lambda}_{1}$$x$ $\cdots$ (1) $Ay$ = ${\lambda}_{2}$$y$ $\cdots$ (2) 위의 (1)식의 양변에 $y^{T}$을 곱하면 $y^{T}Ax$ = ${\lambda}_{1}$$y^{T}x$ $\cdots$ (1’) 그리고 (2)식의 양변에 $x^{T}$을 .. 2022. 5. 5. 6.1c 고유값과 행렬식 그리고 트레이스(trace) 이번 포스팅에서는 고유값과 행렬식 그리고 트레이스(trace)와의 관계에 대하여 알아보겠습니다. 여기서 트레이스는 대각 성분들의 합을 의미합니다. 고유값들의 곱은 행렬식과 같고, 고유값들의 합은 트레이스와 같습니다. 1. $n$ × $n$ 행렬의 고유값은 $n$개 $n$ × $n$ 행렬 $A$의 특성방정식 det($A\:-\:{\lambda}I$) = 0은 다음과 같이 λ의 $n$차 방정식이 됩니다. det($A\:-\:{\lambda}I$) = ($-$1)$^{n}$(${\lambda}^{n}$ + $c_{n-1}{\lambda}^{n-1}$ + ${\cdots}$ + $c_{1}{\lambda}$+$c_{0}$). 왜냐하면 $A\:-\:{\lambda}I$의 대각 성분은 $A_{ii}\:-\:{\la.. 2022. 5. 4. 이전 1 2 3 4 5 6 ··· 11 다음 반응형
