6.2a 행렬 대각화(diagonalization)

이번 내용은 행렬 대각화입니다. 행렬 대각화는 어떤 행렬이 주어졌을 때 이와 같은 고유값을 갖는 대각행렬을 만드는 과정입니다. 행렬 $A$의 고유 벡터들로 이뤄진 행렬을 $X$라고 하면, 이에 대응하는 고유값 대각행렬 $\Lambda$는 $A$ = $X{\Lambda}X^{-1}$의 관계를 갖습니다. 이번 포스팅에서는 행렬 대각화가 어떻게 가능한지와 그 쓰임새를 알아보겠습니다.

1. 대각행렬의 고유값

대각행렬은 대각 성분을 제외한 모든 성분이 0인 행렬을 말합니다.
행렬 $A$가 대각행렬이라면 대각 성분 $a_{ii}$만이 0이 아닐 수 있습니다.

사실 대각행렬의 고유값은 구하기 쉽습니다.
특성방정식 det ($A\:-\:{\lambda}I$) = 0은 ($a_{11}\:-\:{\lambda}$)($a_{22}\:-\:{\lambda}$)$\cdots$($a_{nn}\:-\:{\lambda}$) = 0이 되어 바로 대각 성분들이 고유값이 되는 것입니다.

대각행렬은 계산 상에 이점이 있습니다.
다음과 같이 거듭제곱을 하였을 때 대각 성분들에만 거듭제곱을 해주면 됩니다.

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} a_{11} & & \\ & \ddots & \\ & & a_{nn} \end{array} \end{pmatrix}^{K}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} a_{11}^{K} & & \\ & \ddots & \\ & & a_{nn}^{K} \end{array} \end{pmatrix}$

2. 행렬 대각화

어떤 행렬 $A$가 있을 때 $A$와 같은 고유값을 갖는 대각행렬 $\Lambda$(람다)를 찾을 수 있습니다. $\Lambda$를 ‘고유값행렬’이라고도 합니다. $A$가 주어졌을 때 이에 대응하는 고유값행렬을 찾는 것을 행렬 대각화라고 합니다. 

행렬 대각화의 기본 원리는 다음 식에서 시작합니다.
$AX$ = $X\Lambda$

여기서 $X$는 $A$의 고유벡터들로 이뤄진 행렬입니다. 고유벡터 행렬 $X$를 고유벡터 $x_{i}$를 이용하여 표현하면 위 식의 좌변은

$AX$ = $A$$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} & & \\ x_{1} & {\cdots} & x_{n} \\ & & \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} & & \\ {\lambda}_{1}x_{1} & \cdots & {\lambda}_{n}x_{n} \\ & & \end{array} \end{pmatrix}$.

그리고 우변은

$X\Lambda$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} & & \\ x_{1} & \cdots & x_{n} \\ & & \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} {\lambda}_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda}_{n} \end{array} \end{pmatrix}^{K}$

= $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} & & \\ {\lambda}_{1}x_{1} & \cdots & {\lambda}_{n}x_{n} \\ & & \end{array} \end{pmatrix}$

따라서 양변은 같습니다.
즉, $AX$ = $X\Lambda$.

위 식에서 다음과 같이 양변에 $X^{-1}$를 곱해주면
→ $AXX^{-1}$ = $X{\Lambda}X^{-1}$
→ $A$ = $X{\Lambda}X^{-1}$

 

또는
→ $X^{-1}AX$ = $X^{-1}X{\Lambda}$
→ $\Lambda$ = $X^{-1}AX$

그러면 다음 예를 보겠습니다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$

det ($A\:-\:{\lambda}I$) = 0에서 ($1\:-\:{\lambda}$)($6\:-\:{\lambda}$) = 0.
따라서 고유값은 1과 6. (삼각행렬 역시 대각 성분이 고유값이 됩니다.)

고유벡터를 구하기 위해 $Ax$ = ${\lambda}x$를 풀면

 

$\lambda$ = 1일 때:

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$

$x_{2}$ = 0, $x_{1}$ = $x_{1}$. $x_{1}$은 아무 값이나 됩니다.

첫 번째 고유벡터는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$.

$\lambda$ = 6일 때:

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$ = 6$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$

$x_{2}$ = $x_{2}$, $x_{1}$ = $x_{2}$.

두 번째 고유벡터는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

 

이제 다음과 같이 고유벡터 행렬을 만듭니다. 

$X$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$,  $X^{-1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

이제 고유값행렬 $\Lambda$을 구할 수 있습니다.

$\Lambda$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$.

3. 행렬의 거듭제곱

위에서 대각행렬의 거듭제곱 계산이 쉽다는 것을 봤습니다.
행렬 대각화를 하면 이 이점을 이용할 수 있습니다.

 

$A$의 거듭제곱 $A^{K}$를 $A$ = $X{\Lambda}X^{-1}$를 이용하여 쓰면, 
$A^{K}$ = ($X{\Lambda}X^{-1}$)($X{\Lambda}X^{-1}$)$\cdots$($X{\Lambda}X^{-1}$) = $X{\Lambda}^{K}X^{-1}$.

같은 예를 보면

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{array} \end{pmatrix}^{K}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$   

= $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 6^{K} - 1 \\ 0 & 6^{K} \end{array} \end{pmatrix}$