6.2c 행렬의 닮음(Similarity)

어떤 행렬들이 같은 고유값들을 갖고 있다면, 그 행렬들은 각각의 고유값행렬 $\Lambda$와 고유벡터행렬 $X$를 써서 $A$ = $X\Lambda$$X^{-1}$와 같이 쓸 수 있습니다. 이처럼 같은 Λ로 묶을 수 있다면 그 행렬들은 닮았다고 합니다.

1. 닮음행렬(Similar Matrices)

앞서 행렬의 대각화에서 어떤 행렬 $A$가 대각화가 가능한 경우, 고유값행렬 $\Lambda$와 고유벡터행렬 $X$를 이용하여 $A$ = $X\Lambda$$X^{-1}$로 쓸 수 있다고 배웠습니다. (참조 6.2a 행렬 대각화) 

만약 다른 고유벡터행렬 $X$’을 이용하면 동일한 고유값을 갖는 다른 행렬 $A$’ = $X$’$\Lambda$$X$’$^{-1}$를 만들 수 있습니다. 이처럼 동일한 고유값을 갖는 행렬 $A$와 $A$’은 닮음 행렬이라고 합니다.

위와 같이 행렬 대각화가 가능하지 않은 경우도 행렬의 닮음을 말할 수 있습니다. 

$A$ = $BCB^{-1}$와 같이 쓸 수 있는 모든 행렬 $A$는 닮음행렬입니다. 이 닮음행렬들은 $C$와 동일한 고유값을 갖습니다. 여기서 행렬 $B$는 고유벡터행렬이 아니지만 역행렬을 가져야 합니다. 그리고 이 경우는 행렬 대각화가 가능하지 않으므로 $C$는 대각행렬이 아닐 수 있습니다.

 
증명) 행렬 $C$의 고유값을 $\lambda$, 고유벡터를 $x$라고 하면 $Cx$ = $\lambda$$x$.
그러면 행렬 $A$ = $BCB^{-1}$는 다음 식에서 볼 수 있듯이 $Bx$를 고유벡터로, 그리고 λ를 고유값으로 갖습니다.
$A(Bx)$ = $BCB^{-1}(Bx)$ = $BC(B^{-1}B)x$ = $BCx$ = $B{\lambda}x$ = ${\lambda}(Bx)$.

* $C$가 단위행렬이면:
$C$가 단위행렬인 경우는 닮음행렬의 모임이 가장 작은 특별한 예입니다. $C$가 대각행렬이기는 하지만 두 고유값이 모두 1이어서 고유벡터가 한 개밖에 없습니다.

다음 식에서 볼 수 있듯 닮음행렬은 $B$에 상관없이 단위행렬 밖에 없기 때문입니다.
$BIB^{-1}$ = $I$.

다시 말하면, 단위행렬의 닮음행렬은 단위행렬뿐입니다. 

2. Jordan form

단위행렬의 예와는 다르게 고유값이 모두 1이지만 행렬 대각화가 불가능한 경우가 있습니다.

즉, $C$가 대각행렬이 아닌 경우입니다.

이런 경우는 행렬의 Jordan form을 찾을 수 있습니다.
Jordan form은 행렬 $A$가 주어졌을 때, $A$와 닮고 대각행렬에 가장 가까운 행렬을 말합니다. 

예를 들면 다음 행렬 $C$입니다.

$C$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$

$A$가 대각화가 가능하면 대각행렬 $\Lambda$ = $XAX^{-1}$가 $A$의 Jordan form이 됩니다.

대각화가 가능하지 않으면 가장 대각행렬에 가까운 $C$ = $BAB^{-1}$가 $A$의 Jordan form이 됩니다. 

 

Jordan form에 대해서는 8장에서 좀 더 자세히 다루겠습니다.