6.1d 대칭행렬의 고유벡터

대칭행렬의 고유벡터들은 서로 수직 합니다. 이번 포스팅에서는 이를 증명하고, 프로젝션 행렬의 예로 확인해보겠습니다.

1. 대칭행렬의 고유벡터들은 수직 한다.

대칭행렬 $A$의 고유벡터 $x$와 $y$가 있다고 가정하겠습니다.

 

두 벡터는 각각 고유값 ${\lambda}_{1}$과 ${\lambda}_{2}$에 대응하고, ${\lambda}_{1}$ ≠ ${\lambda}_{2}$입니다.

따라서 
$Ax$ = ${\lambda}_{1}$$x$  $\cdots$ (1)
$Ay$ = ${\lambda}_{2}$$y$  $\cdots$ (2)

위의 (1)식의 양변에 $y^{T}$을 곱하면
$y^{T}Ax$ = ${\lambda}_{1}$$y^{T}x$  $\cdots$ (1’)

그리고 (2)식의 양변에 $x^{T}$을 곱하면
$x^{T}Ay$ = ${\lambda}_{2}$$x^{T}y$ 인데

$A$가 대칭이므로 $A$ = $A^{T}$ (2.7b 전치행렬과 대칭행렬 참조)

 

그러면
$x^{T}A^{T}y$ = ${\lambda}_{2}$$x^{T}y$  $\cdots$ (2’)

이제 (1’)식에서 (2’)을 빼겠습니다.
→ $y^{T}Ax\:-\:x^{T}A^{T}y$ = ${\lambda}_{1}$$y^{T}x$ $-$ ${\lambda}_{2}$$x^{T}y$

여기서 $y^{T}Ax$은 $y$와 $Ax$의 내적이고, 교환법칙을 이용하면 $y^{T}Ax$ = $(Ax)^{T}y$ = $x^{T}A^{T}y$.
따라서 위 식의 좌변은 0입니다.

우변의 $y^{T}x$도 마찬가지로 $x$와 $y$의 내적입니다. 그래서 $y^{T}x$ = $x^{T}y$. 

 

위 식을 다시 정리하면
0 = (${\lambda}_{1}\:-\:{\lambda}_{2}$)$x^{T}y$.

${\lambda}_{1}$ ≠ ${\lambda}_{2}$이므로 $x^{T}y$ = 0입니다.
다시 말하면 $x$와 $y$의 내적은 0이고, 따라서 $x$와 $y$는 수직 합니다.

2. 대칭행렬의 예: 프로젝션 행렬

대칭행렬의 예로 다음 프로젝션 행렬을 보겠습니다.

$P$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} .5 & .5 \\ .5 & .5 \end{array} \end{pmatrix}$.

사실 이 행렬은 앞서 배운 Markov행렬입니다.
Markov 행렬은 고유값으로 1을 가져야합니다. (참조 6.1b Markov 행렬)

그리고 $P$는 행렬식이 0인 비가역행렬입니다.
일반적으로 행렬 $A$가 비가역이면 det $A$ = 0 이고, 특성방정식 det ($A\:-\:{\lambda}I$) = 0가 $\lambda$ = 0 일때 만족하기때문에 $A$는 고유값으로 0을 가져야합니다.

이를 정리하면 $P$의 고유값이 0과 1이 되야하는데, 다음과 같이 특성방정식을 풀어보면 확인할 수 있습니다. 

det($P\:-\:{\lambda}I$) = $\begin{pmatrix} \begin{array}{cc} .5 - \lambda & .5 \\ .5 & .5 - \lambda \end{array} \end{pmatrix}$ = 0

→ $({\lambda}\:-\:{\frac{1}{2}})^{2} - \frac{1}{4} = {\lambda}^{2} - {\lambda} = {\lambda}({\lambda} - 1) = 0$
따라서 ${\lambda}$ = 0 또는 1.

이제 고유값들을 $Ax$ = $\lambda$$x$에 대입하여 고유벡터를 구할 수 있습니다.
${\lambda}$ = 0 일 때

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} .5 & .5 \\ .5 & .5 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$ = 0.

$x_{2}$ = $-x_{1}$. 
즉, 고유벡터는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$.

${\lambda}$ = 1 일 때

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} .5 & .5 \\ .5 & .5 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$.

$x_{2}$ = $x_{1}$. 
즉, 고유벡터는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

그리고 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$$\cdot$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ = 0.

두 고유벡터의 내적이 0이므로 둘은 수직함을 확인했습니다.