1.2d Schwarz 부등식, 벡터의 각, cosθ 등에 관한 연습 문제(15~17)

15. Schwarz 부등식, 산술평균, 기하평균 문제.

$x$ = 2와 $y$ = 8의 기하평균은 $\sqrt{xy}$ = 4입니다. 산술 평균은 $\frac{1}{2}$($x$ + $y$) = __ 으로 기하평균보다 큽니다. 이것은 $v$ = ($\sqrt{2}$, $\sqrt{8}$) 및 $w$ = ($\sqrt{8}$, $\sqrt{2}$)에 대해 앞서 예제 6에서 배운 Schwarz 부등식에서 나옵니다. $v$와 $w$에 대해 cos$\theta$을 찾으세요.

답) 문제에서 말하는 기하평균은 $n$개의 데이터 값을 모두 곱하고 $n$제곱근을 취하는 것을 의미합니다. 
따라서, $x$ = 2와 $y$ = 8의 기하평균은 $\sqrt{xy}$ = 4으로 계산되고,
산술 평균은 우리가 일반적으로 사용하는 평균값으로,
$\frac{1}{2}$($x$ + $y$) = $\frac{1}{2}$(2 + 8) = 5로 계산할 수 있습니다.
이 연습 문제는 교과서의 예제 6에서 배운 산술평균과 기하평균의 관계를 확인하도록 합니다.
예제 6의 내용을 간단히 요약하면,
$v$ = ($a$, $b$) 와 $w$ = ($b$, $a$) 두 벡터가 있을 때,
Schwarz 부등식 | $v$ · $w$ | ≤ ||$v$|| ||$w$||을 써서
$ab$ ≤ ($a^{2}$+ $b^{2}$)/2 을 알 수 있습니다.
여기서 $x$ = $a^{2}$ 그리고 $y$ = $b^{2}$이라고 하면,
$\sqrt{xy}$ ≤ ($x$ + $y$)/2 와 같이
기하평균과 산술평균의 부등식 관계를 확인할 수 있습니다.
그리고 문제에서 구하라는 코사인 값은
($v$∙$w$)/||$v$||||$w$|| = cos$\theta$
을 이용해서
cos$\theta$ = 2$\sqrt{16}$/$\sqrt{10}$$\sqrt{10}$ = 8/10입니다.

16. n차원 벡터 길이, 단위벡터, 수직 문제.

9차원에서 벡터 $v$ = (1, 1, ..., 1)의 길이는 얼마입니까? $v$와 같은 방향을 가지는 단위 벡터 $u$와 $v$에 수직인 단위 벡터 $w$를 찾으세요.

답) 벡터의 길이는 ||$v$|| = $\sqrt{v{\cdot}v}$이므로
||$v$||$^{2}$ = 1+1+· · ·+1 = 9.
따라서 ||$v$|| = 3.
$v$와 같은 방향의 단위 벡터는 $v$를 자신의 길이||$v$|| 로 나누면 얻습니다.
따라서 $u$ = $v$/3 = (1/3, 1/3, . . . , 1/3).
마지막으로 $v$에 수직인 단위벡터 $w$는 무수히 많습니다.
예를 들어,
$w$ = (1,−1, 0, . . . , 0)/$\sqrt{2}$.
또는 $w$ = (0, 1,−1, 0, . . . , 0)/$\sqrt{2}$ 또는 $w$ = (1,−1, 1,−1, 0 . . . , 0)/$\sqrt{4}$ 등등입니다.

17. 두 벡터 사이각의 코사인 문제.

벡터 (1, 0, −1)와 축을 따라 있는 단위 벡터 $i$, $j$, $k$ 사이의 각도 $\alpha$, $\beta$, $\theta$의 코사인은 얼마인가요? 식 cos$^{2}\alpha$ + cos$^{2}\beta$ + cos$^{2}\theta$ = 1을 확인하세요..

답) 두 벡터사이의 각의 코사인 값은 다음 식을 이용할 수 있습니다.
($v$∙$w$)/||$v$||||$w$|| = cosθ
단위 벡터 $i$, $j$, $k$는 모두 길이가 1이고, 
벡터 (1, 0, −1)의 길이는 √2이므로,
cos$\alpha$ = (1, 0, −1) · (1, 0, 0)/$\sqrt{2}$ = 1/$\sqrt{2}$,
cos$\beta$ = (1, 0, −1) · (0, 1, 0)/$\sqrt{2}$ = 0,
cos$\theta$ = (1, 0, −1) · (0, 0, 1)/$\sqrt{2}$ = −1/$\sqrt{2}$ 를 구할 수 있습니다.
그리고
cos$^{2}\alpha$ + cos$^{2}\beta$ + cos$^{2}\theta$ = 1/2 + 0 + 1/2 = 1을 확인할 수 있습니다.