1.2c 벡터의 내적과 각, 수직에 대한 연습 문제(10~14)

벡터의 내적과 벡터의 각(수직)에 관련된 연습 문제들을 풀어보겠습니다.

 

연습 문제와 관련하여 다음 링크를 참조하시기 바랍니다.

1.2 길이와 내적(dot product)

 

10. (0, 0)에서 점 $v$ = (1, 2) 및 $w$ = (-2, 1)까지 화살표를 그려라. 그리고 그 기울기들을 곱하라. 그러면 $v$ · $w$ = 0이고 두 화살표는 (  )이라는 것을 알 수 있다.

답) 문제에서 화살표는 벡터를 의미합니다. 
$v$와 $w$의 기울기는 각각
$v$: (2 – 0)/(1 – 0) = $\frac{v_{2}}{v_{1}}$ = 2
$w$: (1 – 0)/(–2 – 0) = $\frac{w_{2}}{w_{1}}$ = –1/2  

기울기의 곱은 –1입니다. (이 경우 두 직선이 수직한다고 고등학교에서 배웠을 것입니다.)

기울기의 곱이 –1이면 
$\frac{v_{2}}{v_{1}}$ ∙$\frac{w_{2}}{w_{1}}$  = –1.
→ $v_{1}w_{1}$ + $v_{2}w_{2}$ = 0
즉, 내적은 $v$ · $w$ = 0입니다.

 

그리고
$\frac{v{\cdot}w}{||v||||w||}$ = cos$\theta$
을 이용하면 
cos$\theta$ = 0이 되어 수직함을 알 수 있습니다.
따라서 괄호 안의 답은 수직입니다.

 

11. $v$ · $w$가 음수라는 것은 $v$와 $w$ 사이의 각도에 대해 무엇을 의미하는가? 
3차원 벡터 $v$를 그려보고, $v$ · $w$ < 0인 모든 $w$가 채우는 공간에 대해 말하라. 

답) 두 벡터 $v$와 $w$가 이루는 각을 $\theta$라고 하면
cos$\theta$ = $\frac{v{\cdot}w}{||v||||w||}$.

 

이 식에서 벡터의 길이는 양수이므로 $v$ · $w$가 음수면 cos$\theta$ 역시 음수입니다.
즉, $\theta$는 90° < $\theta$ < 270°

그리고, 3차원에 v를 그렸을 때, $v$ · $w$ < 0인 모든 $w$가 채우는 공간은 $v$와 각이 90° < $\theta$ < 270°인 3차원 공간의 반을 채웁니다.

 

12. $v$ = (1, 1)와 $w$ = (1, 5)가 주어졌을 때, $w$ – $cv$가 $v$에 수직이 되도록 숫자 $c$를 선택하라. 그런 다음 0이 아닌 $v$와 $w$로부터 $c$에 대한 공식을 찾아라. 

답) $w$ – $cv$가 $v$에 수직이 되려면 내적 $v$ · ($w$ – $cv$) = 0이 되어야 합니다.
$v$ · ($w$ – $cv$) = $v$ · $w$ – $cv$ · $v$ = 6 – 2$c$ = 0 
따라서, 답은 $c$ = 3.

그리고 위 계산과정에서 
$v$와 $w$로부터 $c$에 대한 공식은
$v$ · $w$ – $cv$ · $v$ = 0
→ $c$ = $v$ · $w$/ $v$ · $v$ 

 

13. (1, 0, 1)과 수직이고 서로 수직인 0이 아닌 벡터 $v$와 $w$를 찾아라.

답) 3차원에서 벡터는 한 평면과 수직 합니다.
(1, 0, 1)과 수직인 평면은 ($a$, $b$, –$a$)의 형태의 벡터들로 채워집니다.
그리고 이 평면에서 서로 수직인 두 벡터의 쌍은 무수히 많습니다.
즉, 가능한 답이 많다는 의미입니다.
($a$, $b$, –$a$)의 형태이고 서로 수직인 벡터의 쌍을 구하면 되는데,
$v$ = (0, 1, 0)와 $w$ = (1, 0, –1)이 쉽게 구할 수 있는 답입니다.

 
14. (1, 1, 1, 1)과 수직이고 서로 수직인 0이 아닌 벡터 $u$, $v$, $w$를 찾아라.

답) 13번 문제와 마찬가지로 가능한 답이 많습니다.
먼저 (1, 1, 1, 1)와 내적이 0이 되는 벡터 $u$를 구하고 이와 서로 수직인 벡터들을 구하겠습니다.
$u$ = (1, –1, 1, –1)
이제 $u$ 그리고 (1, 1, 1, 1)와 내적이 0이 되는 벡터를 구하겠습니다.
$v$ = (1, 0, –1, 0)
다시 $u$, $v$, 그리고 (1, 1, 1, 1)와 내적이 0이 되는 벡터를 구하겠습니다.
$w$ = (0, 1, 0, –1)