1.2a 벡터의 내적 관련 연습 문제(1~5)

1.2절 벡터의 내적과 관련된 연습 문제를 풀어보겠습니다.

1. 다음 벡터들의 내적 $u$ · $v$, $u$ · $w$, $u$ · ($v$ + $w$), $w$ · $v$를 계산하라. 

 

$u$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -.6 \\ .8 \end{array} \end{pmatrix}$, $v$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$, $w$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$.

답) 두 벡터 $u$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} u_{1} \\ u_{2} \end{array} \end{pmatrix}$, $v$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} v_{1} \\ v_{2} \end{array} \end{pmatrix}$의 내적은 $u$ · $v$ = $u_{1}v_{1}$ + $u_{2}v_{2}$입니다.

 

이를 이용해서 계산하면, 
$u$ · $v$ = –0.6 × 4 + 0.8 × 3 = 0
$u$ · $w$ = –0.6 × 1 + 0.8 × 2 = 1
$u$ · ($v$ + $w$) = $u$ · $v$ + $u$ · $w$ = 0 + 1 = 1
$w$ · $v$ = 1 × 4 + 2 × 3 = 10


2. 위 문제 1의 벡터 $u$, $v$, $w$의 길이 ||$u$||, ||$v$||, ||$w$||을 계산하라. 그리고 Schwarz 부등식 | $u$ · $v$ | ≤ ||$u$|| ||$v$||와 | $v$ · $w$ | ≤ ||$v$|| ||$w$||을 확인하라. 

답) 벡터의 길이는 ||$v$|| = $\sqrt{v{\cdot}v}$ 
따라서
||$u$|| = $\sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}}$ = $\sqrt{1}$ = 1
||$v$|| = $\sqrt{4^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{25}$ = 5
||$w$|| = $\sqrt{1^{2} + 2^{2}}$ = $\sqrt{5}$

이제 Schwarz 부등식을 확인하겠습니다.
| $u$ · $v$ | ≤ ||$u$|| ||$v$||
→ 0 ≤ 1 × 5

| $v$ · $w$ | ≤ ||$v$|| ||$w$||
→ 10 ≤ 5 × $\sqrt{5}$ = 5$\sqrt{5}$
Schwarz 부등식이 확인되었습니다.


3. 문제 1의 벡터 $v$ 그리고 $w$와 방향이 같은 단위 벡터를 구하고 $v$와 $w$ 사이각에 대한 코사인 값을 구하라. 그리고 $w$와 0°, 90°, 180°를 이루는 벡터 $a$, $b$, $c$를 선택하라. 

답) 단위 벡터는 길이가 1인 벡터를 말합니다. 

그래서 $v$, $w$와 방향이 같은 단위 벡터는 각각 벡터를 길이로 나누면 구할 수 있습니다.

즉, $v$ 방향의 단위 벡터는 $\frac{v}{||v||}$입니다. 마찬가지로 $w$는 $\frac{w}{||w||}$입니다.

 

따라서 구하는 단위 벡터는
$\frac{v}{||v||}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4/5 \\ 3/5 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0.8 \\ 0.6 \end{array} \end{pmatrix}$

 

$\frac{w}{||w||}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1/\sqrt{5} \\ 2/\sqrt{5} \end{array} \end{pmatrix}$

 

$v$와 $w$ 사이각의 코사인 값 cos$\theta$는
cos$\theta$ = $v$ · $w$/||$v$|| ||$w$||
= 10/5$\sqrt{5}$
= 2$\sqrt{5}$/5

그리고 $w$와 0°, 90°, 180°를 이루는 벡터 $a$, $b$, $c$를 찾으면
0°인 $a$는 $w$ 자신 또는 같은 방향의 아무 벡터, 예를 들면 $\frac{w}{||w||}$, 중 하나를 선택하면 됩니다.

 

90°인 $b$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$ 방향의 벡터 ($w$와 내적이 0)

 

180°인 $c$는 $w$의 반대 방향인 –$w$와 같은 방향의 벡터 중 하나를 선택할 수 있습니다.


4. 어떤 단위 벡터 $v$와 $w$가 있다고 가정하고, 다음 내적을 구하라. 
($a$) $v$와 –$v$  ($b$) $v$ + $w$와 $v$ – $w$  ($c$) $v$ – 2$w$와 $v$ + 2$w$

답) $v$와 $w$는 단위 벡터이므로 ||$v$|| = ||$w$|| = 1
($a$) $v$ · (–$v$) = –$v$ · $v$ = –||$v$||$^{2}$ = –1 

 

($b$) ($v$ + $w$) · ($v$ – $w$) = $v$ · $v$ – $v$ · $w$ + $w$ · $v$ – $w$ · $w$  

그런데 $v$ · $w$ = $w$ · $v$이므로 위 식은
($v$ + $w$) · ($v$ – $w$) = ||$v$|| – ||$w$|| = 1 – 1 = 0

 

($c$) ($v$ – 2$w$) · ($v$ + 2$w$) = $v$ · $v$ + $v$ · 2$w$ – 2$w$ · $v$ – 2$w$ · 2$w$
= ||$v$|| – 4||$w$|| = 1 – 4 = –3 


5. $v$ = (1, 3) 그리고 $w$ = (2, 1, 2)와 같은 방향의 단위 벡터 $u_{1}$과 $u_{2}$를 찾아라.
그리고 $u_{1}$와 $u_{2}$에 수직인 단위 벡터 $U_{1}$와 $U_{2}$를 찾아라.

답) 먼저 각 벡터의 길이는
||$v$|| = $\sqrt{1^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{10}$,
||$w$|| = $\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}$ = $\sqrt{9}$ = 3

3번 문제와 같이 각각 벡터의 길이로 나누면
$u_{1}$ = $\frac{v}{||v||}$ = (1, 3)/$\sqrt{10}$ = (1/$\sqrt{10}$, 3/$\sqrt{10}$)

 

$u_{2}$ = $\frac{w}{||w||}$ = (2, 1, 2)/3 = (2/3, 1/3, 2/3)

그리고 $U_{1}$와 $U_{2}$는 각각 $u_{1}$, $u_{2}$와 내적이 0이고 길이가 1인 벡터입니다.
$U_{1}$의 경우는 $u_{1}$의 두 성분의 위치를 바꾸고 한 성분에 –1을 곱하면 $U_{1}{\cdot}u_{1}$ = 0이 됩니다. 

 

즉, $U_{1}$ = (–3/$\sqrt{10}$, 1/$\sqrt{10}$) 또는 (3/$\sqrt{10}$, –1/$\sqrt{10}$)
3차원인 $u_{2}$는 무수히 많은 단위 벡터와 수직 합니다. 
그중 하나를 구하면
$U_{2}$ = (1, –2, 0)/$\sqrt{5}$ 
$U_{2}$는 이 벡터를 $u_{2}$를 중심으로 회전시킨 어떤 벡터라도 될 수 있습니다.