1.2e 피타고라스 정리, 삼각부등식 등(18~22)

1장 2절 피타고라스 정리, 삼각부등식, 슈와르츠 부등식 등에 관한 문제 풀이입니다.

 

문제 18. 피타고라스 정리

변 $v$ = (4, 2)와 $w$ = (−1, 2)로 이루어진 평행사변형은 직각 사각형입니다. 직각삼각형에 대한 피타고라스의 정리인 $a^{2}$ + $b^{2}$ = $c^{2}$을 검증해 보세요: ($v$의 길이)$^{2}$ + ($w$의 길이)$^{2}$ = ($v$ + $w$의 길이)$^{2}$.

답) 먼저 $v$와 $w$를 벡터라고 생각하고 둘의 내적 $v$ · $w$ = 4×(−1) + 2 × 2 = 0. 따라서 문제에서 말한 것처럼 $v$와 $w$가 직각임을 알 수 있습니다.
피타고라스 정리 ($v$의 길이)$^{2}$ + ($w$의 길이)$^{2}$ = ($v$ + $w$의 길이)$^{2}$를 확인하기 위해서 먼저 다음과 같이 $v$와 $w$의 길이를 구합니다.
||v||$^{2}$ = 4$^{2}$ + 2$^{2}$ = 16 + 4 = 20 그리고 ||w||$^{2}$ = (−1)$^{2}$ + 2$^{2}$ = 5. 

그리고 직각삼각형의 빗변은 $v$ + $w$ = (3, 4)입니다. 
빗변의 길이는 || $v$ + $w$ ||$^{2}$ = 3$^{2}$ + 4$^{2}$ = 25.
따라서 다음과 같이 피타고라스 정리를 확인할 수 있습니다. 
|| $v$ + $w$ ||$^{2}$ = 25 = ||$v$||$^{2}$ + ||$w$||$^{2}$ = 20 + 5 

문제 19. 내적의 규칙

(내적의 규칙) 다음 식들은 간단하지만 유용합니다:
(1) $v$ · $w$ = $w$ · $v$ 
(2) $u$ · ($v$ + $w$) = $u$ · $v$ + $u$ · $w$ 
(3) ($cv$) · $w$ = $c$($v$ · $w$)
$u$ = $v$ + $w$일 때 (2)를 사용하여 ||$v$ + $w$||$^{2}$ = $v$ · $v$ + 2$v$ · $w$ + $w$ · $w$을 증명하세요.

답) (2) 규칙을 사용하면 ||$v$ + $w$||$^{2}$ = ($v$ + $w$) · ($v$ + $w$)은 다음과 같이 전개할 수 있습니다.
($v$ + $w$) · ($v$ + $w$) = ($v$ + $w$) · $v$ + ($v$ + $w$) · $w$.
위 식의 우변은 (1) 규칙에 의해 $v$ · ($v$ + $w$) + $w$ · ($v$ + $w$)이 됩니다.
그리고 (2) 규칙을 다시 적용하면, $v$ · $v$ + $v$ · $w$ + $w$ · $v$ + $w$ · $w$이 되고,
여기서 (1) 규칙에 의해 $v$ · $w$ = $w$ · $v$ 이므로
$v$ · $v$ + 2$v$ · $w$ + $w$ · $w$가 됩니다. 
따라서 ||$v$ + $w$||$^{2}$ = ($v$ + $w$) · ($v$ + $w$) 임을 증명했습니다.

문제 20. 코사인 법칙

“코사인 법칙”은 ($v$ – $w$) · ($v$ – $w$) = $v$ · $v$ – 2$v$ · $w$ + $w$ · $w$에서 유도됩니다:
코사인 법칙: ||$v$ – $w$||$^{2}$ = ||$v$||$^{2}$ – 2||$v$|| ||$w$||cos$\theta$ + ||$w$||$^{2}$.
변 $v$, $w$ 및 $v$ – $w$를 갖는 삼각형을 그립니다. 그러면 위 식에서 θ는 어떤 각도인가요?.

답) 먼저 18번과 19번 문제에서 $w$가 –$w$로 바뀐것이라고 생각하면 쉽습니다.
그러면, $v$와 –$w$가 두 변을 이루고, $v$ – $w$가 그 두 변을 잇는 세 번째 변이 되는 삼각형을 그릴 수 있습니다.
또한 19번 문제에서 증명한 식을 사용하면, ||$v$ – $w$||$^{2}$ = ($v$ − $w$) · ($v$ − $w$) = $v$ · $v$ −2$v$ ·$w$ + $w$·$w$임을 알 수 있습니다. 
그리고 이 식에 ($v$∙$w$)/||v|| ||w|| = cos$\theta$을 적용하면, 위의 코사인 법칙과 같음을 알 수 있습니다. 따라서 여기서 θ는 $v$와 $w$ 사이의 각도입니다. 

문제 21. 삼각 부등식

삼각 부등식은 다음과 같습니다: ($v$ + $w$의 길이) ≤ ($v$의 길이) + ($w$의 길이). 문제 19에서 ||v + w||$^{2}$ = ||v||$^{2}$ + 2$v$ · $w$ + ||w||$^{2}$임을 알았습니다. 여기서 $v$ · $w$를 ||$v$|| ||$w$||로 증가시켜서 3번 변의 길이가 1번 변의 길이 + 2번 변의 길이를 초과할 수 없음을 보이세요.
삼각 부등식: ||$v$ + $w$||$^{2}$ ≤ (||$v$|| + ||$w$||)$^{2}$ 또는 ||$v$ + $w$|| ≤ ||$v$|| + ||$w$||

답) 문제에서 $v$ · $w$를 ||$v$|| ||$w$||로 증가시킨다는 것은 20번 문제에서 사용한 식 $v$ · $w$ = ||$v$|| ||$w$||cos$theta$을 보면 이해할 수 있습니다. cos$theta$는 1보다 클 수 없기 때문에 $v$ · $w$의 최댓값은 ||$v$|| ||$w$||입니다.
즉, $v$ ·$w$ ≤ ||$v$|| ||$w$||.
그리고 이것은 ||$v$ + $w$||$^{2}$ = $v$ ·$v$ + 2$v$ ·$w$ + $w$·$w$ ≤ ||$v$||$^{2}$ + 2||$v$|| ||$w$|| + ||$w$||$^{2}$ = (||$v$|| + ||$w$||)$^{2}$을 의미합니다. 마지막으로 양쪽에 제곱근을 취하면 ||$v$ + $w$|| ≤ ||$v$|| + ||$w$||가 됩니다.
이제 18번 문제처럼 $v$와 $w$ 그리고 $v$ + $w$로 삼각형을 만들면, 
3번 변 $v$ + $w$의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 클 수 없음을 알 수 있습니다.

문제 22. Schwarz 부등식 - 대수학 증명

삼각법 대신 대수학을 사용한 Schwarz 부등식 ||$v$ · $w$|| ≤ ||$v$|| ||$w$||:
(a) 양변을 전개합니다: ($v_{1}w_{1}$ + $v_{2}w_{2}$)$^{2}$ ≤ ($v_{1}^{2}$ + $v_{2}^{2}$)($w_{1}^{2}$ + $w_{2}^{2}$).
(b) 두 변 사이의 차이가 ($v_{1}w_{2}$ − $v_{2}w_{1}$)$^{2}$임을 보여줍니다.
이 값은 제곱값이므로 음수가 될 수 없으므로 부등식은 참입니다.

답) (a) 먼저 ($v_{1}w_{1}$ + $v_{2}w_{2}$)$^{2}$ ≤ ($v_{1}^{2}$+ $v_{2}^{2}$)($w_{1}^{2}$ + $w_{2}^{2}$)을 전개합니다.

$v_{1}^{2}w_{1}^{2}$ + 2$v_{1}w_{1}v_{2}w_{2}$ + $v_{2}^{2}w_{2}^{2}$ ≤ $v_{1}^{2}w_{1}^{2}$ + $v_{1}^{2}w_{2}^{2}$ + $v_{2}^{2}w_{1}^{2}$ + $v_{2}^{2}w_{2}^{2}$

(b) 이 식에서 좌변을 우변으로 넘기면, 즉 양변에서 $v_{1}^{2}w_{1}^{2}$ + 2$v_{1}w_{1}v_{2}w_{2}$ + $v_{2}^{2}w_{2}^{2}$을 빼면 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.
0 ≤ $v_{1}^{2}w_{2}^{2}$ − 2$v_{1}w_{1}v_{2}w_{2}$ + $v_{2}^{2}w_{1}^{2}$ = ($v_{1}w_{2}$ − $v_{2}w_{1}$)$^{2}$
그리고 좌변은 제곱이므로 0 이상이고 부등식은 참입니다.
따라서 Schwarz 부등식 ||$v$ · $w$|| ≤ ||$v$|| ||$w$||은 성립합니다.