1.3a 행렬-벡터 곱, 행렬방정식, 선형 독립 등의 연습문제(1~4)

이번 포스팅은 행렬-벡터 곱, 행렬방정식, 선형 독립 등의 연습문제를 풀어보겠습니다.

 

문제 1 행렬-벡터 곱, 선형 결합

아래와 같이 세 벡터가 있을 때, 선형 결합 3$s_{1}$ + 4$s_{2}$ + 5$s_{3}$ = $b$를 구하세요. 그다음 행렬-벡터 곱 $Sx$의 형태로 b를 쓰세요.

 

여기서 벡터 $x$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array} \end{pmatrix}$가 됩니다. 세 개의 내적 ($S$의 행)·$x$를 계산하세요.

세 벡터 $s_{1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$  $s_{2}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$  $s_{3}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$는 행렬 $S$의 열이 됩니다.

답) 세 벡터의 선형 결합 3$s_{1}$ + 4$s_{2}$ + 5$s_{3}$는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

3$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ + 4$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ + 5$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 7 \\ 12 \end{array} \end{pmatrix}$

따라서 $b$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 7 \\ 12 \end{array} \end{pmatrix}$

그리고 $b$는 다음과 같이 행렬-벡터 곱으로 쓸 수 있습니다.

$b$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array} \end{pmatrix}$
마지막으로 $S$의 각 행과 $x$의 행렬을 계산하면 아래와 같은 관계를 확인할 수 있습니다.

$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} (1행){\cdot}x \\ (2행){\cdot}x \\ (3행){\cdot}x \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array} \end{pmatrix}$

문제 2 행렬 방정식

1번 문제의 $s_{1}$, $s_{2}$, $s_{3}$로 이뤄진 행렬 S에 대해 아래 방정식 $Sy$ = $b$를 푸세요:

$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$와 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 9 \end{array} \end{pmatrix}$

$S$는 Sum 행렬입니다. 첫 5개 홀수의 합은 ( ? )입니다.

답) 먼저 첫번째 방정식은 $S$의 1행과 $y$의 내적을 통해 $y_{1}$ = 1임을 바로 알 수 있고, 2행과 $y$의 내적도 1이므로 $y_{2}$ = 0이어야합니다. 3행과 $y$의 내적을 계산하여 $y_{3}$ = 0도 쉽게 구할 수 있습니다.
두 번째 방정식도 마찬가지로 1행과 $y$의 내적을 통해 $y_{1}$ = 1임을 구하고, 내적들을 계산하여 $y_{2}$ = 3, $y_{3}$ = 5을 구할 수 있습니다. 여기서 $y$의 성분은 홀수이고 대응하는 $b$의 성분은 홀수들의 합이고 $n^{2}$임을 알 수 있습니다. 여기서 $n$은 $n$번째 홀수를 의미합니다. 따라서 첫 5개 홀수의 합은 25입니다.

문제 3 선형 독립, 가역 행렬

아래 $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$에 대한 세 방정식을 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$ 로 푸세요:

$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array} \end{pmatrix}$

해 $y$를 $A$ = $S^{-1}$ 곱하기 벡터 $c$의 형태로 쓰세요. $S$의 열들은 독립인가요 아니면 속인가요?

답) 문제에서 세 방정식은 다음과 같이 풀어 쓸 수 있습니다.

$y_{1}$ = $c_{1}$
$y_{1}$ + $y_{2}$ = $c_{2}$
$y_{1}$ + $y_{2}$ + $y_{3}$ = $c_{3}$
이 식들을 풀면,
$y_{1}$ = $c_{1}$
$y_{2}$ = –$c_{1}$ + $c_{2}$
$y_{3}$ = –$c_{2}$ + $c_{3}$
이를 다시 행렬-벡터 곱의 형태로 하면

$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array} \end{pmatrix}$

즉, 우변의 행렬이 $S^{-1}$ ($S$의 역행렬)가 됩니다. 이 행렬을 $S$와 곱하면 $I$가 되는 것을 알 수 있습니다. 그러므로 S는 가역행렬이고 그것의 열들은 독립(independent)합니다.

 

문제4 선형 독립, 비가역 행렬

$x_{1}$ = 1일 때 영벡터를 만드는 조합 $x_{1}w_{1}$ + $x_{2}w_{2}$ + $x_{3}w_{3}$을 찾으세요: 

 

$w_{1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$  $w_{2}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array} \end{pmatrix}$  $w_{3}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array} \end{pmatrix}$.

 

이 벡터들은 (독립이다?) (종속이다?). 이 세 벡터는 한 ___ 위에 존재합니다. 이 세 벡터들을 열로 구성하는 행렬 $W$는 역행렬이 존재하지 않습니다.

답) 선형 결합 0$w_{1}$ + 0$w_{2}$ + 0$w_{3}$은 항상 영벡터이지만, 이 문제에서는 계수가 0이 아닌($x_{1}$ = 1) 다른 조합을 찾아야합니다. 따라서 세 벡터는 ‘독립’이 아닌 ‘종속’이 됩니다. 세 벡터들을 잘 보면 $w_{2}$ = ($w_{1}$ + $w_{3}$)/2이라는 것을 알 수 있습니다. 
즉, 영벡터를 생성하고 $x_{1}$ = 1인 조건의 선형 결합은 $w_{1}$ –2$w_{2}$ + $w_{3}$ = 0입니다.
그리고 이것은 벡터 (1, –2, 1)에 수직한 평면의 방정식임을 알 수 있습니다. 

마지막으로, 세 벡터가 종속이므로 행렬 W는 비가역입니다.

 

관련 내용은 아래 링크를 참조하세요.

1.3 행렬 (1)

1.3 행렬 (1)

1.3 행렬 (2)

1.3 행렬 (2)