1.2b 벡터들이 이루는 각과 내적에 관한 연습 문제(6~9)

벡터들이 이루는 각과 내적에 관한 연습 문제를 풀겠습니다. 특히 두 벡터가 수직인 경우(내적이 0)인 경우의 문제가 많습니다.

6. (a) 벡터 $v$ = (2, –1)에 수직인 모든 벡터 $w$ = ($w_{1}$, $w_{2}$)를 묘사하라. 
(b) 3차원에서 $v$ = (1, 1, 1)에 수직인 모든 벡터는 (?) 안에 있다.
(c) 두 벡터 (1, 1, 1)과 (1, 2, 3) 모두에 수직인 벡터는 (?)에 있습니다.

위 괄호를 채워라.

답) (a) 두 벡터의 내적이 0이면 둘은 수직합니다.수직 합니다. 간단한 계산으로 (1, 2)가 $v$와 수직임을 알 수 있습니다. 따라서 같은 방향의 모든 벡터 $w$ = ($c$, 2$c$)는 $v$에 수직 합니다. 또한 모든 벡터 $w$는 (1, 2)의 방향의 직선을 이룹니다.

 

(b) 3차원에서 $v$ = (1, 1, 1)에 수직인 모든 벡터($x$, $y$, $z$)는 내적이 0이므로 $x$ + $y$ + $z$ = 0인데, 이 것은 평면의 방정식입니다. 즉, $v$에 수직인 모든 벡터는 (평면) 안에 있습니다.

 

(c) (1, 1, 1)와 (1, 2, 3)에 둘 다 수직인 모든 벡터는 평면 $x$ + $y$ + $z$ = 0와 평면 $x$ + 2$y$ + 3$z$ = 0에 동시에 포함되야합니다.
즉, 두 평면이 만나는 직선(접선)이 되겠습니다.


7. 다음 벡터 쌍들의 코사인 값을 구해서 벡터들이 이루는 각 $\theta$를 말하라.

 
(a) $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ \sqrt{3} \end{array} \end{bmatrix}$와 $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \end{bmatrix}$

 

(b) $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ -1 \end{array} \end{bmatrix}$와 $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array} \end{bmatrix}$

 

(c) $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ \sqrt{3} \end{array} \end{bmatrix}$와 $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -1 \\ \sqrt{3} \end{array} \end{bmatrix}$

 

(d) $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$와 $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -1 \\ -2 \end{array} \end{bmatrix}$

답) 두 벡터 $v$와 $w$가 이루는 각을 $\theta$라고 하면
cos$\theta$ = $\frac{v{\cdot}w}{||v||{\cdot}||w||}$.
그러면 이 식을 이용해서 코사인 값을 구하겠습니다.

(a) 두 벡터의 내적은 1. 벡터의 길이는 각각 2, 1.
따라서 cos$\theta$ = $\frac{1}{2×1}$ = $\frac{1}{2}$.
이 코사인 값에 대한 $\theta$는 60도입니다.
즉, $\theta$ = 60$^\circ$

(b) 내적은 0. 벡터의 길이는 둘 다 3.
계산하면 cos$\theta$ = 0
$\theta$ = 90$^\circ$

(c) 두 벡터의 내적은 2. 벡터의 길이는 둘 다 2.
따라서 cos$\theta$ = $\frac{2}{2×2}$ = $\frac{1}{2}$.
(a)와 마찬가지로 $\theta$는 60도입니다.
즉, $\theta$ = 60$^\circ$

(d) 두 벡터의 내적은 –5. 벡터의 길이는 각각 $\sqrt{10}$, $\sqrt{5}$.
따라서 cos$\theta$ = (-5)/($\sqrt{10}×\sqrt{5}$) = -$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
이 코사인 값에 대한 $\theta$는 –135도입니다.
즉, $\theta$ = –135$^\circ$

 

8. 다음이 참인지 거짓인지 말하라 (참이면 이유를 제시, 거짓이면 반례를 제시):
(a) $u$ = (1, 1, 1)이 $v$ 및 $w$에 수직이면 $v$는 $w$와 평행한다.
(b) $u$가 $v$ 및 $w$에 수직이면 $u$는 $v$ + 2$w$에 수직입니다.
(c) $u$와 $v$가 서로 수직인 단위 벡터이면 ||$u$ – $v$|| = $\sqrt{2}$ 입니다.

답) (a) 거짓. 반례로 $v$ = (1, 0, –1), $w$ = (1, –1, 0)을 들 수 있습니다. 
$v$와 $w$ 둘 다 $u$와 수직이지만(내적이 0), 두 벡터는 평행하지 않습니다.

(b) 참. $u$가 $v$ 및 $w$에 수직이면 내적이 0이므로
$u$ · $v$ = $u$ · $w$ = 0
그리고 $u$와 $v$ + 2$w$의 내적을 구하면,
$u$ · ($v$ + 2 $w$) = $u$ · $v$ + 2$u$ · $w$ = 0 + 2×0 = 0.
따라서 $u$와 $v$ + 2$w$ 역시 수직입니다.

(c) 참. $u$와 $v$가 수직이고 단위 벡터이면 
$u$ · $v$ = $v$ · $u$ = 0이고 $u$ · $u$ = $v$ · $v$ = 1.
벡터의 길이가 ||$v$|| = $\sqrt{v{\cdot}v}$임을 이용하면
||$u$ – $v$|| = $\sqrt{(u - v){\cdot}(u - v)}$ 
= $\sqrt{u{\cdot}u - u{\cdot}v - v{\cdot}u + v{\cdot}v}$
= $\sqrt{u{\cdot}u + v{\cdot}v}$ ($u$ · $v$ = $v$ · $u$ = 0)
= $\sqrt{2}$.


9. (0, 0)에서 ($v_{1}$, $v_{2}$와 ($w_{1}$, $w_{2}$)까지 화살표(벡터 $v$와 $w$)를 그리면 기울기는 각각 $v_{2}/v_{1}$와 $w_{2}/w_{1}$이다. 그리고 두 기울기의 곱 $v_{2}w_{2}$/$v_{1}w_{1}$이 – 1이라고 가정하자. 두 벡터가 수직임을 보여라 ($v$ · $w$ = 0). (한 예로, $y$ = 4$x$ 은 $y$ = $-{\frac{1}{4}}x$에 수직이다.)

답) $v_{2}w_{2}$/$v_{1}w_{1}$ = –1 라고 하면, 
$v_{1}w_{1}$ + $v_{2}w_{2}$ = 0.
이는 $v$와 $w$의 내적입니다.
즉, $v$ · $w$ = 0.
괄호 안의 두 직선은 각각 벡터 (1, 4) 그리고 (1, –$\frac{1}{4}$)와 같은 방향(또는 기울기)입니다. 
두 벡터의 내적은 1×1 + 4×(–$\frac{1}{4}$) = 1 – 1 = 0.
따라서 두 직선은 수직함을 확인할 수 있습니다.