2.1a Ax = 0에 대한 row picture와 column picture 연습문제(1~8)

이번 포스팅에서는 행렬 방정식의 row picture와 column picture 등에 관한 연습문제를 풀어보겠습니다. 이 문제들에서는 선형 결합, 선형 독립, 선형 종속의 개념에 대한 이해가 필요합니다.

문제 1 Row picture & Column picture 이해하기

$A$ = $I$ (항등 행렬) 일 때, Row picture에서 다음 방정식에 대한 면(plane)들을 그려보세요. 상자의 세 면이 해 $x$ = ($x$,$y$,$z$) = (2,3,4)에서 만납니다:
1$x$ + 0$y$ + 0$z$ = 2
0$x$ + 1$y$ + 0$z$ = 3
0$x$ + 0$y$ + 1$z$ = 4
또는

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \end{pmatrix}$

그리고 column picture에서 벡터를 그려보세요. 첫 번째 열에 2를, 두 번째 열에 3을, 세 번째 열에 4를 곱하여 더하면 우변의 $b$와 같아집니다.

답) Row picture는 행렬의 각각의 행에 해당되는 방정식을 가지고 문제를 이해하는 방식입니다. 
예를 들어, 문제의 행렬 $A$ = $I$에 대한 row picture는 서로 수직인 세 평면, $x$ = 2, $y$ = 3, $z$ = 4으로 그릴 수 있습니다. 이 평면들은 각각 $x$ 및 $y$ 및 $z$ 축과 수직입니다. 이 세 평면들이 만나는 점이 해 ($x$, $y$, $z$)가 됩니다.

그에 반해, column picture는 $Ax$를 열 벡터의 선형 결합으로 보는 방식입니다. 방정식 좌변의 선형 결합이 우변의 벡터와 같아야 합니다.
문제 1에 해당하는 열 벡터는 $i$ = (1, 0, 0) 및 $j$ = (0, 1, 0) 및 $k$ = (0, 0, 1)입니다. 그리고 좌변의 벡터 $b$는 $b$ = (2, 3, 4)는 2$i$ + 3$j$ + 4$k$의 선형 결합입니다.

문제 2 행에 상수를 곱할 때 row & column

문제 1의 방정식을 각각 2, 3, 4로 곱하면 $DX$ = $B$가 됩니다.
2$x$ + 0$y$ + 0$z$ = 4
0$x$ + 3$y$ + 0$z$ = 9
0$x$ + 0$y$ + 4$z$ = 16
또는
$DX$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 9 \\ 16 \end{array} \end{pmatrix}$ = $B$

Row picture는 왜 같은가요? 해 X와 x는 같은가요? Column picture에서 무엇이 변했나요?

답) Row picture에서 각 방정식 (문제 1에서는 평면의 방정식)은 양변에 같은 상수를 곱해줘도 동일합니다. 즉, 2$x$ = 4는 $x$ = 2이고, 3$y$ = 9는 $y$ = 3이고, 4$z$ = 16은 $z$ = 4입니다. 따라서 해 X는 x와 동일합니다. 

이에 반해서 column picture에서는 다루는 세 개의 열 벡터의 크기가 다릅니다. 예를 들면, 문제 1에서 $i$ = (1, 0, 0)이었던 첫 번째 열은 (2, 0, 0)으로 두배가 길어집니다. 마찬가지로 같은 선형 결합이 다른 벡터인 $b$ = (4, 9, 16)을 생성합니다.

문제 3 방정식을 더할 때 row & column pictures

만약 어떤 연립방정식(또는 대응되는 행렬 방정식)에서 방정식 1에 방정식 2를 더하면 어떤 것이 변하나요?: row picture에서 평면, column picture에서 벡터, 계수 행렬, 또는 방정식의 해? 예를 들어 문제 1의 경우에서 방정식 1과 2를 더하면 새로운 방정식은 $x$ = 2, $x$ + $y$ = 5, $z$ = 4입니다.

답) 해는 그대로입니다. (연립 방정식을 풀어보면 확인할 수 있습니다.)
하지만 두 번째 평면은 $x$ + $y$ = 5로, 

 

행렬 방정식은 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 4 \end{array} \end{pmatrix}$
와 같이 변합니다.

이에 따라, column picture에서 벡터들도 변하는 것을 알 수 있습니다. 

문제 4 방정식의 해와 row & column

$x$ + $y$ + 3$z$ = 6 및 $x$ – $y$ + $z$ = 4의 평면들의 교차선에서 $z$ = 2인 점을 찾으세요. 그리고 $z$ = 0인 점을 찾으세요. 마지막으로 중간에 위치하는 세 번째 점을 찾으세요.

답) 먼저 $z$ = 2인 경우는, $z$ = 2을 두 평면 방정식에 대입하면 $x$ + $y$ = 0 및 $x$ − $y$ = 2를 얻습니다. 이를 풀면, $x$ = 1, $y$ = −1을 얻습니다. 즉, 두 평면의 교차선에서 $z$ = 2인 점은 ($x$, $y$, $z$) = (1, −1, 2)입니다. 

마찬가지로 $z$ = 0이면, $x$ + $y$ = 6 및 $x$ − $y$ = 4를 얻고 이에 해당하는 점 (5, 1, 0)을 얻습니다. 마지막으로 두 점의 중간 지점인 세 번째 점은 (3, 0, 1)입니다.

문제 5 해가 무수히 많은 경우 row & column

다음 방정식의 세트가 있다고 할 때, 첫 번째 방정식에 두 번째 방정식을 더하면 세 번째 방정식이 됩니다:
$x$ + $y$ + $z$ = 2
$x$ + 2$y$ + $z$ = 3
2$x$ + 3$y$ + 2$z$ = 5
앞의 두 평면은 한 직선에서 만납니다. 세 번째 평면은 그 직선을 포함합니다. 왜냐하면 $x$, $y$, $z$가 앞의 두 방정식을 만족하면 또한 __이기 때문입니다. 이 방정식은 무한히 많은 해 (전체 직선 $L$)를 가집니다. $L$ 상에 세 가지 해를 찾으세요..

답) 만약 $x$, $y$, $z$가 앞의 두 방정식을 만족한다면, 그 값들은 세 번째 방정식 (두 방정식의 합)도 만족합니다. 문제에서 언급한 것과 같이 무수히 많은 해가 있지만 세 개만 구해보면, 해의 집합인 직선 $L$은 v = (1, 1, 0), $w$ = (1/2, 1, 1/2), $u$ = 1/2$v$+ 1/2$w$ 등의 해를 포함합니다. 이외에도 $c$ + $d$ = 1인 모든 선형 결합 $cv$ + $dw$를 포함합니다.

문제 6 해가 존재하지 않는 경우

다음 빈칸을 채우세요.
문제 5에서 세 번째 평면을 그와 평행한 평면 2$x$ + 3$y$ + 2$z$ = 9 평면으로 옮기겠습니다. 이제 세 방정식에는 해가 없습니다. 왜 그럴까요? 첫 두 평면은 직선 $L$에서 만나지만, 세 번째 평면은 그 직선과 ___하지 않습니다.

답) 정답은 교차(intersect)입니다. 문제 5의 경우 세 평면이 모두 공통인 한 직선을 포함하여 해가 무수히 많았습니다. 하지만 문제 6에서는 세 번째 평면(방정식)을 이동시켰기 때문에 다음과 같은 관계를 갖게 됩니다.
방정식 1 + 방정식 2 − 방정식 3은 이제 0 = −4입니다. 이 관계는 만족시킬 수 없기때문에 해가 존재하지 않습니다. 다시 말하면 평면 1과 평면 2의 교차선 L은 평면 3과 교차(intersect) 하지 않으므로 해가 없습니다.

문제 7 중복 또는 선형 종속

다음 빈칸을 채우세요.
문제 5의 방정식을 행렬로 표현할 경우 행렬의 열은 (1, 1, 2) 및 (1, 2, 3) 및 (1, 1, 2)입니다. 이것은 세 번째 열이 ___이므로 Singular인 경우입니다. 벡터 $b$ = (2, 3, 5)를 얻기 위한 두 개의 선형 결합을 찾으십시오. 이는 $c$ = ___인 경우의 $b$ = (4, 6, $c$)에만 가능합니다.

답) 첫 번째 빈칸은 중복(redundant) 또는 종속(linearly dependent)입니다. 문제를 보면 1번 열과 3번 열이 같음을 알 수 있습니다. 그리고 문제 5의 방정식을 행렬로 표현하면 $Ax$ = $b$가 됩니다. 문제 7은 $b$ = (2, 3, 5)인 경우의 알맞은 선형 결합을 찾으라는 것입니다. $b$ = (2, 3, 5)는 1번 열 + 2번 열 또는 2번 열 + 3번 열임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서, 해는 x = (1, 1, 0) 또는 (0, 1, 1)이고, 1번 열과 3번 열이 같으므로 두 해에 (−1, 0, 1)의 배수를 더해도 여전히 해가 됩니다. 
그리고 두 번째 빈칸은 $c$ = 10입니다. $b$ = (4, 6, $c$)인 경우, 해가 존재하려면 마찬가지로 $b$ = (4, 6, $c$)도 열들의 선형 결합이어야 합니다. 1번 열 + 2 × 2번 열 + 3번 열은 문제의 조건과 같이 b의 앞의 두 성분이 4와 6이 되도록 합니다. 이 경우 세 번째 성분들의 합이 10이 되므로 c = 10이어야 합니다. (그러면 b가 열의 평면 위에 있게 됩니다).

문제 8 4차원의 선형 방정식

다음 빈칸을 채우세요.
일반적으로 4차원 공간에서 4개의 "평면(plane)"은 ____에서 만납니다. 일반적으로 4차원 공간에서 4개의 열 벡터는 벡터 b를 생성하기 위해 결합될 수 있습니다. 그러면 (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)의 어떤 결합이 b = (3, 3, 3, 2)를 생성합니까? x, y, z, t에 대한 4개의 방정식은 무엇인가요?

답) 첫 번째 빈칸은 ‘하나의 점(point)’입니다. 
그리고 문제에서 주어진 4개의 열과 $b$를 방정식으로 표현하면 다음과 같습니다.
1$x$ + 1$y$ + 1$z$ + 1$t$= 3
0$x$ + 1$y$ + 1$z$ + 1$t$= 3
0$x$ + 0$y$ + 1$z$ + 1$t$= 3
0$x$ + 0$y$ + 0$z$ + 1$t$= 2
문제에서 주어진 것이 열이라는 것을 주의하세요.
밑의 방정식에서부터 역으로 풀면서 올라가면 위 방정식들의 해가 (0, 0, 1, 2)가 되어야 함을 알 수 있습니다.

관련 내용은 아래 링크를 참조하세요.

2.1 벡터와 선형 방정식 (Vectors & Linear Equations)

2.1 벡터와 선형 방정식 (Vectors & Linear Equations)