1.3c 사이클릭 차분행렬의 해, 역행렬등의 연습문제(9~12)

이번 포스팅은 사이클릭 차분 행렬의 해와 역행렬 등에 관한 연습문제들을 풀어보겠습니다.

 

문제 9

사이클릭 4 × 4 차분(difference) 행렬 $C$를 만들어 보세요. 각 행과 각 열에 1과 –1이 포함됩니다. 그리고 $Cx$ = 0의 모든 해 $x$ = ($x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$)를 찾으세요. 이때 $C$의 네열(column)은 4차원 공간 내의 "3차원 초평면(hyperplane)" 내에 위치합니다.

답) 사이클릭(cyclic) 차분이라 하면, 다음과 같이 순환하면서 빼주는 것을 의미합니다.
$x_{1}$ – $x_{4}$
$x_{2}$ – $x_{1}$ 
$x_{3}$ – $x_{2}$ 
$x_{4}$ – $x_{3}$ 
따라서 이것을 행렬과 벡터의 곱으로 표현하면 다음과 같습니다.

$Cx$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \end{pmatrix}$

그리고 방정식 $Cx$ = 0은 $x_{1}$ = $x_{2}$ = $x_{3}$ = $x_{4}$일 때 만족한다는 것도 알 수 있습니다. 
따라서 $Cx$ = 0의 모든 해는 ($c$, $c$, $c$, $c$)가 됩니다. 여기서 c는 임의의 상수입니다.

문제 10

아래 식에서 보이는 바와 같이 전진 차분(forward difference) 행렬 Δ는 상부 삼각 행렬입니다: 

 

Δ$z$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} z_{2} - z_{1} \\ z_{3} -z_{2} \\ 0 - z_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = $b$

$b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$에서 $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$를 찾으세요. $z$ = Δ$^{-1}b$에서 역행렬은 무엇인가요?

답) 위 방정식을 전개하면 아래와 같습니다.
$z_{2}$ – $z_{1}$ = $b_{1}$
$z_{3}$ – $z_{2}$ = $b_{2}$
0 – $z_{3}$ = $b_{3}$
이를 다시 $z$에 대해 정리하면 다음 식들이 됩니다.
$z_{1}$ = –$b_{1}$ –$b_{2}$ –$b_{3}$
$z_{2}$ = –$b_{2}$ –$b_{3}$
$z_{3}$ = –$b_{3}$

이제 이 식들을 행렬로 표현하면
$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = Δ$^{-1}b$

위 식의 행렬이 바로 Δ의 역행렬이 됩니다.

문제 11

($t$ + 1)$^{2}$ – $t^{2}$의 전진 차분이 홀수인 2$t$ + 1 임을 보여주세요.
미적분학과 같이 ($t$ + 1)$^{n}$ – tn의 차분은 $t^{n}$의 도함수(derivative)로 시작할 것입니다. $t^{n}$의 도함수는 _____입니다.

답) 문제에서 주어진 제곱수($n$ = 2)의 전진 차분은 전개하면 ($t$ + 1)$^{2}$ – $t^{2}$ = $t^{2}$ + 2$t$ + 1 – $t^{2}$ = 2$t$ + 1임을 쉽게 보일 수 있습니다.
그리고 $n$제곱수의 차분은 ($t$ + 1)$^{n}$ – $t^{n}$ = $t^{n}$ – $t^{n}$ + $nt^{n}$−1 + · · ·입니다. 따라서 여기서 가장 차수가 높은 항은 도함수인 $nt^{n}$−1입니다. 위 식의 나머지 항들은 이항정리(binomial theorem)를 통해서 알 수 있습니다.

문제 12

 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} - 0 \\ x_{3} - x_{1} \\ x_{4} - x_{2} \\ 0 - x_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \end{array} \end{pmatrix}$
위 식의 행렬(중심 차분 행렬, centered difference matrix)은 역행렬을 갖습니다. $Cx$ = ($b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $b_{4}$)를 $x$ = $C^{-1}b$와 같이 풀어서 그 역행렬을 찾으세요. 

답) 먼저 위의 행렬 방정식을 다음과 같이 전개합니다.
$x_{2}$ = $b_{1}$
$x_{3}$ – $x_{1}$ = $b_{2}$
$x_{4}$ – $x_{2}$ = $b_{3}$
–$x_{3}$ = $b_{4}$
다시 $x$의 각 성분에 대해 정리하면,
$x_{1}$ = –$b_{1}$ – $b_{4}$
$x_{2}$ = $b_{1}$ 
$x_{3}$ = –$b_{4}$
$x_{4}$ = $b_{1}$ + $b_{3}$

 

위 식들의 좌변을 행렬로 표현하면
$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$$b$

즉, 위에서 b앞에 있는 행렬이 구하는 역행렬입니다.