연습문제 2.1b 행렬과 벡터의 곱셈 (9~14)

2장 1절의 행렬과 벡터의 곱에 대한 연습문제들을 풀어보겠습니다.

문제 9 행렬과 벡터의 곱 계산하기

아래의 행렬과 벡터의 곱 Ax를 행과 열 벡터의 내적으로 계산하라.

(a) $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & 1 \\ -4 & 1 & 2 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$

(b) $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$

답) 문제는 행과 열의 내적을 계산하라고 합니다. 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

(a) $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} (1 \; 2 \; 4){\cdot}(2 \; 2 \;3) \\ (-2 \; 3 \;1){\cdot}(2 \;2 \;3) \\ (-4 \; 1 \;2){\cdot}(2 \; 2 \; 3) \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2+4+12 \\ -4+6+3 \\ -8+2+6 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 18 \\ 5 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$

(b) $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} (2 \; 1 \; 0 \; 0){\cdot}(1 \; 1 \; 1 \; 2) \\ (1 \; 2 \; 1 \; 0){\cdot}(1 \; 1 \; 1 \; 2) \\ (0 \; 1 \; 2 \; 1){\cdot}(1 \; 1 \; 1 \; 2) \\ (0 \; 0 \; 1 \; 2){\cdot}(1 \; 1 \; 1 \; 2) \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2+1+0+0 \\ 1+2+1+0 \\ 0+1+2+2 \\ 0+0+1+4 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 5 \end{array} \end{pmatrix}$

문제 10 열의 선형 결합으로 $Ax$ 계산하기

문제 9의 각 $Ax$를 열의 선형 결합으로 계산하라.

문제 9의 (a)는 $Ax$ = $2\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ -4 \end{array} \end{pmatrix}$ + $2\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ + $3\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} ? \\ ? \\ ? \end{array} \end{pmatrix}$.

"3 by 3" 행렬의 경우 $Ax$를 계산할 때 몇 개의 개별 곱셈이 필요한가요?

답) 열의 선형 결합으로 계산하는 방법도 역시 $Ax$ = (18, 5, 0)와 (3, 4, 5, 5)을 주는 것을 확인하는 문제입니다. 위와 같이 열 벡터의 선형 결합으로 표현하면, 1장에서 배운 벡터의 덧셈과 스칼라 곱 연산을 통해 계산할 수 있습니다. 예를 들어,

$2\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ -4 \end{array} \end{pmatrix}$ + $2\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ + $3\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$ 

= $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ -4 \\ -8 \end{array} \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 6 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 12 \\ 3 \\ 6 \end{array} \end{pmatrix}$ 

= $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2+4+12 \\ -4+6+3 \\ -8+2+6 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 18 \\ 5 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$

$A$가 3x3 행렬인 경우, 행 또는 열로 곱할 때 9개의 별개의 곱셈이 필요합니다. (각 열 당 3개의 곱셈 필요)

문제 11 $Ax$의 성분 구하기

행 또는 열별로 $Ax$의 두 구성 요소를 찾아보세요.

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 6 & 12 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$

답) 행별로 구하는 방법은 각 $A$의 행과 $x$의 내적을 구하면 되고, 열별은 각 $A$의 열과 $x$의 대응되는 성분의 곱을 구하면 됩니다.
예를 들어,

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$을 행별로 풀어보면,

이 곱은 두 개의 성분을 갖는 벡터가 되는데,
첫 성분은 (2 3)∙(4 2) = 14, 두 번째 성분은 (5 1)∙(4 2) = 22

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 6 & 12 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$을 열별로 풀어보면,

= $2\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array} \end{pmatrix}$ + $(-1)\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 6 \\ 12 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$

마지막으로,
$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3+2+4 \\ 6+0+1 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 9 \\ 7 \end{array} \end{pmatrix}$

문제 12 $Ax$의 성분 구하기(성분 3개)

아래의 $A$와 $x$를 곱하여 $Ax$의 세 개의 구성 요소를 찾으세요.

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$

답) 11번 문제에서 행렬의 크기만 커진 것입니다.
계산을 하면,
$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0+0+z \\ 0+y+0 \\ x+0+0 \end{array} \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} z \\ y \\ x \end{array} \end{pmatrix}$

;$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2+1-3 \\ 1+2-3 \\ 3+3-6 \end{array} \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2+1 \\ 1+2 \\ 3+3 \end{array} \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 6 \end{array} \end{pmatrix}$

 

문제 13 행렬곱과 차원

다음 빈칸을 채우세요.
(a) m개의 행과 $n$개의 열을 가진 행렬은 __개의 성분을 가진 벡터와 곱셈을 수행하여 __개의 구성 요소를 가진 벡터를 생성합니다.
(b) ((a)의 경우에서) $Ax$ = $b$의 $m$개의 방정식의 평면들은 __차원 공간에 속합니다. 행렬 $A$의 열들의 선형 결합은 __차원 공간에 속합니다.

답) 행렬과 벡터의 곱 $Ax$는 $A$의 행 벡터와 $x$의 내적을 구해서 얻을 수 있습니다. $m$ × $n$ 행렬의 행은 $n$개의 성분이 있기 때문에 내적을 하려면 $x$도 $n$개의 성분이 있어야 합니다. 그리고 $Ax$는 $A$의 행의 개수와 같은 $m$개의 성분을 갖게 됩니다.
따라서 (a)의 빈칸에는 각각 $n$과 $m$이 들어갑니다.
그리고 $x$의 성분의 개수는 각 방정식의 미지수의 개수와 같습니다. 따라서 각 방정식의 평면은 n차원의 공간에 속합니다. 또한 $A$의 열은 $m$개의 성분을 갖으므로 $m$차원 공간에 속합니다.
정리하면 (b)의 빈칸에 들어갈 답은 $n$과 $m$입니다.

문제 14 행렬방정식과 차원

방정식 2$x$ + 3$y$ + $z$ + 5$t$ = 8를 행렬 $A$를 사용하여 표현하면 몇 개의 행이 있나요? 그리고 열 벡터 $x$ = ($x$, $y$, $z$, $t$)와 곱셈하여 벡터 $b$를 생성합니다. 해 $x$는 4차원 공간에서 평면 또는 '초평면'을 형성합니다. 이 평면은 4차원 공간에서 3차원으로 펼쳐진 평면이며, 4차원의 부피는 가지지 않습니다.

답) 문제의 방정식을 행렬 방정식 $Ax$ = $b$로 표현하면, $A$는 다음과 같은 1 × 4 행렬이 됩니다: $A$ = [2 3 1 5]. 따라서, $A$의 행은 1개입니다. 그리고 이 방정식의 해는 무수히 많은데, 문제에서 설명한대로 4차원 공간에서 3차원 평면을 채우게 됩니다.