연습문제 2.1c 항등, 교환, 회전 행렬 (15~17)

계속해서 2장 1절의 항등(Identity), 교환(Exchange), 회전(Rotation) 행렬들에 대한 연습문제들을 풀어보겠습니다.

문제 15 2 × 2 항등 행렬 & 교환 행렬

(a) 2 × 2 항등 행렬 $I$는 어떻게 생겼습니까? $I$ 곱하기 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

 

(b) 2 × 2 교환 행렬 $P$는 어떻게 생겼습니까? $P$ 곱하기 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y \\ x \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

답) 문제는 2 × 2 항등(identity) 행렬과 교환(exchange) 행렬을 쓰라고 하는 것입니다. $I$는 대각(diagonal) 성분이 모두 1이고, 나머지 원소는 0인 형태를 갖고, 교환 행렬은 뒤에서 배울 치환(permutation) 행렬의 일종인데, $I$에서 대각선이 반사된 모습인 anti-diagonal 형태를 갖습니다.

2 × 2의 경우는, $I$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$ 그리고 $P$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \end {pmatrix}$입니다.

문제에서 말한 것과 같이 벡터 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$를 곱했을 때,
$I$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$, $P$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y \\ x \end{array} \end{pmatrix}$를 주는 것을 확인할 수 있습니다.

문제 16 회전 행렬 (90도 & 180도)

(a) 모든 벡터를 90도 회전시키는 2 × 2 회전 행렬 $R$은 어떻게 생겼습니까? $R$ 곱하기 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y \\ -x \end{array} \end{pmatrix}$입니다.
(b) 모든 벡터를 180도 회전시키는 2 × 2 회전 행렬 $R^{2}$은 어떻게 생겼습니까? 

답) 복잡하게 고등학교에서 배운 삼각 함수를 원소로 갖는 회전 행렬을 생각하실 필요는 없습니다. 90도 회전이기 때문에 원래 벡터와 내적을 했을 때 0이 되는 벡터를 만드는 행렬을 생각하면 됩니다. 문제에서 말하는 것과 같이 곱했을 때 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y \\ -x \end{array} \end{pmatrix}$를 주면 되는데요. 문제 15의 교환 행렬을 조금만 바꿔주면 됩니다.

(a)의 답은 $R$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$이 됩니다. $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$에 곱했을 때 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y \\ -x \end{array} \end{pmatrix}$가 되는 것을 확인할 수 있습니다.

(b)는 R을 제곱해 주면 됩니다. (90도 회전을 두 번하면 180도가 되겠죠)

$R^{2}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \end{pmatrix}$. 즉 –$I$가 됩니다.

문제 17 치환 행렬

($x$, $y$, $z$)를 ($y$, $z$, $x$)로 변환하는 행렬 $P$를 찾으세요. 그리고 ($y$, $z$, $x$)를 다시 ($x$, $y$, $z$)로 되돌리는 행렬 $Q$를 찾으세요.

답) $P$는 (벡터가 행 형태라고 했을 때) 벡터의 행을 교환하는 치환 행렬입니다. 벡터의 행이 교환되는 것과 대응되도록 항등 행렬에서 행 교환을 해주면 $P$가 됩니다. 

따라서 $P$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

마찬가지로 $Q$는 ($y$, $z$, $x$)를 다시 ($x$, $y$, $z$)로 되돌리도록 하는 행 교환을 $I$에 해주면 됩니다. 그리고 행렬의 곱 $PQ$가 $I$가 되어야 합니다.

즉, $Q$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$.