1.3b 행렬의 행과 열의 선형 독립 등의 연습문제(5~8)

행렬의 행과 열을 벡터로 하여 그 들이 선형 독립인지 종속인지를 확인하는 연습문제들입니다. 

 

문제 5

아래의 행렬 $W$의 행들은 세 개의 벡터를 생성합니다(여기서는 열로 쓰겠습니다):

$r_{1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 7 \end{array} \end{pmatrix}$  $r_{2}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 8 \end{array} \end{pmatrix}$  $r_{3}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array} \end{pmatrix}$

선형 대수학은 이 벡터들이 한 평면 위에 있어야 한다고 알려줍니다. $y_{1}r_{1}$ + $y_{2}r_{2}$ + $y_{3}r_{3}$ = 0 조합이 많이 있을 것입니다. $y$ 값의 두 개의 set를 찾으세요.

답) 이 문제는 사실 앞서 문제 4에서 연장되는 것입니다. 단지 문제 4의 행렬 $W$에서 행들을 벡터로 한 것입니다. 문제 4와 마찬가지로 세 벡터는 $r_{2}$ = $\frac{1}{2}$($r_{1}$ + $r_{3}$)의 관계를 갖아서 세 벡터는 선형 종속임을 알 수 있습니다. 

이 문제는 0$r_{1}$ + 0$r_{2}$ + 0$r_{3}$이 아닌 영벡터를 주는 선형 결합을 구해야 합니다. 즉, $y_{1}r_{1}$ + $y_{2}r_{2}$ + $y_{3}r_{3}$ = 0의 해 중 0이 아닌 $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$를 하나라도 갖는 해를 찾으면 됩니다. 문제에서 요구한 대로 2개 set을 구하면 (1, –2, 1)과 (2, –4, 2)입니다.
이외에도 (3, –6, 3), (4, –8, 4), (5, –10, 5) 등 무수히 많은 조합이 있습니다.

문제 6

어떤 숫자 $c$가 다음 행렬의 열을 종속으로 만들어서 열의 조합이 0이 되도록 만들어 줄까요? 

 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 7 & 4 & c \end{array} \end{pmatrix}$,  $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 & 0 & c \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} c & c & c \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 3 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$

답) 먼저 첫 번째 행렬은 1번 열과 2번 열을 빼보면 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$을 주는 것을 알 수 있습니다. 

 

따라서 $c$ = 3이면 그 행렬의 열들이 선형 종속이 됩니다. 그리고 3번 열 = 1번 열 – 2번 열이 됩니다.

 
두 번째 행렬도 같은 작업을 하면 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$을 주는 것을 알 수 있습니다. 

 

따라서 $c$ = –1이면 그 행렬의 열들이 선형 종속이 됩니다. 그리고 3번 열 = 2번 열 – 1번 열이 됩니다.

 

마지막 행렬은 $c$ = 0이 되어야 합니다. 왜냐하면 정방행렬에서는 열이 종속이려면 행도 종속이어야 하는데, 2번 행과 3번 행의 어떤 선형 결합도 $c$가 0이 아닌 행 ($c$ $c$ $c$)를 만들 수 없습니다. 그리고 3번 열 = 3 × 1번 열 – 2번 열이 되는 것을 계산할 수 있습니다.

문제 7

아래와 같이 만약 열들이 $Ax$ = 0으로 결합된다면, 각각의 행은 내적 $r$ · $x$ = 0을 가지게 됩니다:

 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$  행으로 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} r_{1}{\cdot}x \\ r_{2}{\cdot}x \\ r_{3}{\cdot}x \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$. 

 

세 개의 행은 모두 하나의 평면 위에 있습니다. 그러면 그 평면이 $x$에 수직인 이유는 무엇인가요?

답) 세 개의 행은 모두 해 $x$에 수직입니다. 식 $r_{1}$ · $x$ = 0, $r_{2}$ · $x$ = 0, $r_{3}$ · $x$ = 0에서 이를 알 수 있습니다. 문제에서 세 행들이 모두 한 평면 위에 있다고 하였으므로 (직선이 아니라), 평면 위의 모든 벡터는 세 행들의 선형 결합으로 만들어집니다. 따라서 전체 평면은 해 $x$에 수직입니다 (해 $x$에 대해 평면은 $cx$의 배수에 대해서도 수직입니다).

문제 8

다음은 4 × 4 difference 방정식 $Ax$ = $b$을 풀어보겠습니다. 먼저 네 개의 성분 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$를 찾습니다. 그런 다음 이 해를 $x$ = $A^{-1}b$로 쓰고 역행렬을 찾아봅시다.

 

$Ax$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \end{array} \end{pmatrix}$ = $b$.

 

답) 위의 행렬 방정식을 풀어봅니다.
$x_{1}$ = $b_{1}$
$x_{2}$ – $x_{1}$ = $b_{2}$
$x_{3}$ – $x_{2}$ = $b_{3}$
$x_{4}$ – $x_{3}$ = $b_{4}$
$x$의 각 성분에 대해 전개하면,
$x_{1}$ = $b_{1}$
$x_{2}$ = $b_{1}$ + $b_{2}$
$x_{3}$ = $b_{1}$ + $b_{2}$ + $b_{3}$
$x_{4}$ = $b_{1}$ + $b_{2}$ + $b_{3}$ + $b_{4}$
 

위 식들의 좌변을 행렬로 표현하면 다음과 같습니다.

 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \end{array} \end{pmatrix}$ = $A^{-1}b$

 

관련 내용은 아래 링크를 참조하세요~

1.3 행렬 (1)

1.3 행렬 (1)

1.3 행렬 (2)

1.3 행렬 (2)