1.1e 벡터의 연산, 시계 문제

이번에는 시계를 연상하여 출제된 벡터의 연산 문제를 풀어보겠습니다.

13. 아래 그림과 같이 시계를 연상시키는 12개의 벡터들이 있다. 

(a) 벡터들은 시계의 중심으로부터 1시, 2시, … 12시를 가리킨다. 12개의 벡터의 합은 무엇인가?
답) 12개의 벡터들은 모두 크기가 원의 반지름과 같습니다. 그리고 방향이 반대인 6쌍으로 나눌 수 있습니다. 6개의 각각의 쌍은 크기가 같고 방향이 반대이기 때문에 두 벡터의 합은 0이 됩니다. 따라서 12개 벡터의 합은 0입니다.

(b) 만약 2시 방향의 벡터를 제거하면, 나머지 11개의 벡터의 합은 8시 벡터가 된다, 이유는?
답) (a)에서 말한 6개 쌍에서 2시 벡터와 쌍을 이루는 것은 8시 벡터입니다. 따라서 2시 벡터를 제거하면 나머지 5쌍은 합이 0이지만 8시 벡터는 남습니다. 따라서 11개 벡터의 합은 8시 벡터입니다.

(c) 2시 벡터 $v(x, y)$의 $x$, $y$ 성분을 삼각함수로 표현하면? 
답) 원은 360도이고 12로 나누면 30도입니다. 다시 말하면, 인접한 두 벡터가 이루는 각은 30도입니다. 문제의 시계를 $xy$평면이라고 보면 $x$축은 3시 벡터 $y$축은 12시 벡터의 방향이 됩니다. 

 

그러면, 2시 벡터는 $x$축에서 30도(=$\frac{\pi}{6}$) 방향입니다.
따라서 2시 벡터 $v$는 $v$ = (||$v$||cos$\frac{\pi}{6}$, ||$v$||sin$\frac{\pi}{6}$).
여기서 ||$v$||는 $v$의 길이입니다.
(사실 13번 문제에서는 벡터의 길이를 언급하지 않은 것으로 보이는데 14번 문제를 보면 길이를 1로 가정하였습니다)
만약 시계 벡터들의 길이가 1이면,
2시 벡터는 (cos$\frac{\pi}{6}$, sin$\frac{\pi}{6}$) = (√3/2,1/2).

14. 각 시간의 벡터가 원래 원점인 원의 중심이 아니라 6시에서 시작한다고 가정하자. 그러면 12시 벡터는 원래의 12시 벡터보다 2배 긴 벡터(0, 2)가 된다. 새로운 12개 벡터의 합은 무엇인가?

답) 만약 벡터의 시작점이 원의 중심이 아니라 6시라면 아래 그림과 같이 시간을 가리키는 벡터는 달라져야 합니다.

그림에서는 12시, 1시, 7시 벡터를 적색 화살표로 표시하였습니다. 
그림을 잘 보면 1시와 7시의 쌍은 합이 (새로운) 12시 벡터임을 알 수 있습니다.
2시와 8시, 3시와 9시 등의 다른 5쌍도 모두 합이 12시 벡터가 됩니다.
따라서 새로운 12개 벡터의 합은 6 × 12시 벡터 또는 (0, 12)입니다.