1.1g 벡터의 선형 결합 3차원 문제(20 ~ 26)

Strang 교과서의 1.1절 벡터의 선형 결합에 대한 연습 문제(20~26번)를 풀어보겠습니다. 

20. 아래 그림(문제 20 ~ 25)에서 $\frac{1}{3}$$u$ + $\frac{1}{3}$$v$ + $\frac{1}{3}$$w$와 $\frac{1}{2}$$u$ + $\frac{1}{2}$$w$의 위치를 표시하라. 그리고 $c$, $d$, $e$가 어떤 조건일 때 선형 결합  $cu + dv + ew$가 그림에서 점선으로 이뤄진 삼각형을 채우는가? 그러기 위한 조건 중 하나는 $c ≥ 0, d ≥ 0, e ≥ 0$이다.

 
답) 먼저 $cu + dv + ew$가 점선이 만드는 삼각형 내에 있을 조건부터 보겠습니다.
답부터 말하면 문제에서 주어진 $c$ ≥ 0, $d$ ≥ 0, $e$ ≥ 0과  $cu + dv + ew = 1$이 그 조건입니다.

왜 그런지 설명하기 위해  $cu + dv + ew = 1$를 이용해서  $cu + dv + ew$을 다시 쓰겠습니다. 

그러면, $cu + dv + (1 - c - d)w$
$= w + c(u - w) + d(v - w)$와 같습니다.

 

이 벡터가 표시하는 점은 $w$로부터 $c(u - w) + d(v - w)$만큼 이동한 위치에 있게 됩니다. 

 

그리고 $u - w$와 $v - w$는 각각 $u$와 $w$, $v$와 $w$를 잇는 점선 방향의 벡터입니다. 
그런데 $c ≥ 0, d ≥ 0, e ≥ 0$과 $cu + dv + ew = 1$이면, 
$c$와 $d$는 $c$ ≥ 0, $d$ ≥ 0이면서 $c + d ≤ 1$이어야 됩니다.

문제 19을 참조하면 선형 결합은 $c$ ≥ 0, $d$ ≥ 0의 조건만 있다면 $u - w$와 $v - w$가 만드는 cone을 채우는데, $c + d ≤ 1$이 $u$와 $v$를 잇는 점선을 넘지 못하는 조건이 됩니다.

그리고 $\frac{1}{3}$$u$ + $\frac{1}{3}$$v$ + $\frac{1}{3}$$w$와 $\frac{1}{2}$$u$ + $\frac{1}{2}$$w$ 각각 아래 그림과 같이 삼각형의 중심과 $u$와 $w$를 잇는 점선의 중심을 가리킵니다. 

 


21. 점선 삼각형의 세 변은 $v - u$, $w - v$, $u - w$이다. 세 벡터의 합은?

답) ($v - u$) + ($w - v$) + ($u - w$) = 0.
즉 세 벡터의 합은 0 벡터입니다.


22. $c ≥ 0, d ≥ 0, e ≥ 0$ 그리고 $c + d + e ≤1$인 조건에서 선형 결합 $cu + dv + ew$이 채우는 피라미드를 색칠하라. 그리고 $\frac{1}{2}$($u + v + w$)가 이 피라미드 안에 있는지 밖에 있는지 표시하라.

답) 문제의 조건을 따르면 선형 결합 $cu + dv + ew$은 다음 그림과 같이 $u$, $v$, $w$ 그리고 점선이 만드는 피라미드(각뿔) 안을 채웁니다. 

$\frac{1}{2}$($u + v + w$)은 $c + d + e = \frac{3}{2}$ > 1이므로 피라미드 밖에 있습니다. (그림의 빨간 점)


23. 위의 $u$, $v$, $w$의 모든 조합 $cu + dv + ew$으로 생성될 수 없는 벡터가 있나? 만약 $u$, $v$, $w$가 모두 (?)에 있다면 답은 달라진다.

답) $c$, $d$, $e$의 값에 어떠한 제한 없이 모든 수가 가능하다면 $cu + dv + ew$는 3차원 공간 $R^{3}$를 다 채울 수 있습니다. 위 문제 20~22의 경우는 모두 다른 방향을 가리키는 경우이지만, 만약 세 벡터가 한 평면 또는 한 직선에 같이 있다면 $R^{3}$를 채울 수 없습니다. (그 평면이나 직선을 채웁니다)

 

즉, 괄호 안에 답은 (한 평면 또는 한 직선)입니다.


24. $u$와 $v$의 선형 결합이면서 $v$와 $w$의 선형 결합인 벡터는 무엇인가?

답) $u$와 $v$의 선형 결합은 원점과 $u$, $v$가 가리키는 점들을 포함하는 평면을 채웁니다. 

$v$와 $w$의 선형 결합도 역시 원점과 $v$, $w$가 가리키는 점들을 포함하는 평면을 채웁니다. 

$u$와 $v$의 선형 결합이면서 $v$와 $w$의 선형 결합인 벡터는 그 두 평면의 접선을 의미합니다. 

그리고 두 평면은 원점과 $v$가 가리키는 점을 공유하므로 접선은 그 두 점을 지나는 직선입니다 ($cv$로 채워지는 직선). 

 

즉, 문제의 답은 $cv$. 
 

25. 벡터 $u$, $v$, $w$의 선형 조합 $cu + dv + ew$가 한 선만 채우도록 그려라.
그리고 $cu + dv + ew$가 한 평면만 채우도록 하는 벡터 $u$, $v$, $w$를 구하라.

답) 모든 선형 결합 $cu + dv + ew$가 한 선만 채우려면 아래 그림과 같이 $u$, $v$, $w$가 같은 방향을 갖도록 하면 됩니다.

가장 쉬운 예는 $u = v = w$라고 할 수 있습니다.

$cu + dv + ew$가 한 평면만 채우려면 $u$, $v$, $w$가 역시 한 평면에 있어야 합니다.
예를 들면, 한 벡터가 $w = cu + dv$과 같이 다른 두 벡터의 선형 결합인 경우가 답이 됩니다.


26. $c$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \end{bmatrix}$ + $d$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 14 \\ 8 \end{array} \end{bmatrix}$ 인 $c$, $d$를 구하라. 

 

그리고 이 문제를 두 방정식으로 표현하라.

답) 이 문제는 벡터가 두 성분을 갖는 2차원 문제입니다. 

각 성분에 대해 다음 방정식을 만들 수 있습니다.(문제의 답)
$c$ + 3$d$ = 14
2$c$ + $d$ = 8
위 연립방정식을 풀면 $d$ = 4, $c$ = 2를 찾을 수 있습니다.