1.1c 벡터의 성분, 선형 결합(문제6~9)

벡터의 성분과 선형 결합과 관련된 문제를 풀어보겠습니다.

 

6. 두 벡터 $v$ = (1, –2, 1)과 $w$ = (0, 1, –1)의 모든 선형 결합의 성분들의 합은 (  ) 이다.

빈칸을 채워라. 그리고 $cv$ + $dw$ = (3, 3, –6)이 되는 $c$, $d$를 찾아라.

또한 $cv$ + $dw$ = (3, 3, 6)이 불가능한 이유를 설명하라.

답) 문제의 벡터를 보면 둘 다 각각의 성분들의 합이 0이 됨을 알 수 있습니다. 이 때문에 두 벡터의 어떤 선형 결합이라도 성분들의 합이 0이 되어야 합니다.
따라서 빈칸의 답은 0입니다.

$cv$ + $dw$ = (3, 3, –6)을 계산하는 방법은 여러 가지가 있겠지만
$v$의 첫 번째 성분이 1, $w$의 첫번째 성분이 0인 것을 이용하면,
$c$ = 3 임을 바로 알 수 있습니다.
그리고 두 번째 성분(또는 세 번째)을 만족시키기 위해서는
3∙(–2) + $d$ = 3 (또는 3 – $d$ = – 6)이어야 합니다.
계산을 하면 $d$ = 9 임을 알 수 있습니다.
즉, 답은 $c$ = 3, $d$ = 9.

마지막으로 $cv$ + $dw$ = (3, 3, 6)이 불가능한 이유는
앞서 모든 선형 결합 $cv$ + $dw$의 성분들의 합은 0이 되어야 한다고 했는데, (3, 3, 6)의 성분들의 합은 0이 아니기 때문입니다.

7. 다음 9개의 선형 결합을 $xy$평면에 표시하라.
$c$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$ + $d$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$, $c$ = 0, 1, 2 그리고 $d$ = 0, 1, 2.

답) $c$, $d$가 각각 3개씩이므로 둘의 조합이 다음과 같이 모두 9개입니다:
$c$ = 0, d = 0: (0, 0) ← 괄호는 벡터를 의미합니다.
$c$ = 0, $d$ = 1: (0, 1)
$c$ = 0, $d$ = 2: (0, 2)
$c$ = 1, $d$ = 0: (2, 1)
$c$ = 1, $d$ = 1: (2, 2)
$c$ = 1, $d$ = 2: (2, 3)
$c$ = 2, $d$ = 0: (4, 2)
$c$ = 2, $d$ = 1: (4, 3)
$c$ = 2, $d$ = 2: (4, 4)

이를 $xy$평면에 표시하면 (0벡터는 빨간 점으로 표시함)

 
8. 다음 그림에서 $v$ + $w$는 평행사변형의 대각선이다. 
그러면 다른 대각선은 무엇인가?
두 대각선의 합은?

답) 평행사변형의 다른 대각선은 $v$ – $w$ 또는 $w$ – $v$입니다.
(그림에서 적색으로 표시)
따라서 두 대각선의 합은 2$v$ 또는 2$w$가 됩니다.
두 대각선의 합은 아래와 같이 적색 화살표로 그릴 수 있습니다.

 

9. (1,1), (4,2)와 (1,3)이 평행사변형의 세 꼭짓점이라고 하면, 가능한 4번째 꼭지점을 구하라. (가능한 꼭지점이 3개 있음)

답) 아래 그림에서 빨간 점으로 표시한 것이 가능한 3개의 꼭짓점입니다.