1.1d 단위 벡터, 정육면체, xyz 공간 문제

1.1절의 단위 벡터, 정육면체, $xyz$ 공간과 관련된 문제를 풀어보겠습니다.

 

10. 아래 그림의 정육면체에서 $i$ + $j$는 어떤 점을 가리키나? 

또 세 벡터 $i$ = (1, 0, 0), $j$ = (1, 0, 0), $k$ = (1, 0, 0) 합 $i$ + $j$ + $k$는 어떤 점을 가리키나? 

그리고 정육면체의 모든 점 ($x$, $y$, $z$)를 묘사하라.

 
답) $i$, $j$, $k$는 사실 각각 $x$, $y$, $z$축의 단위 벡터입니다. 
$i$ + $j$ = (1, 1, 0)은 정육면체의 밑면의 한 꼭지점을 가리킵니다.
그리고 $i$ + $j$ + $k$ = (1, 1, 1)은 원점의 대각선 반대에 있는 꼭지점입니다.
답은 아래 그림에 표시했습니다.

그리고 정육면체의 모든 점 ($x$, $y$, $z$)은 
세 성분이 다음 범위안에 드는 점들입니다.
0≤$x$, $y$, $z$≤1

 

11. (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)은 정육면체의 꼭지점이다. 

다른 네 개의 점들은 어떤 것인가? 정육면체의 중심점은? 

정육면체의 여섯 개 면의 중심점들은? 정육면체는 몇 개의 꼭지점이 있나?

답) 10번 문제의 경우와 같이 단위 벡터 $i$, $j$, $k$를 이용하면,
정육면체의 꼭지점은 세 벡터의 선형 결합 $ai$ + $bj$ + $ck$ ($a$, $b$, $c$는 0 또는 1)으로 표현할 수 있습니다. 
$a$, $b$, $c$ 각각 2개의 가능한 경우가 있어 $2^{3}$개의 가능한 선형 결합이 있습니다.
즉, 정육면체의 꼭지점은 8개입니다.

선형 결합을 확인해 보면 나머지 네 개의 꼭지점은 (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)이라는 것을 알 수 있습니다.

정육면체의 중심점은 $\frac{1}{2}$$i$ + $\frac{1}{2}$$j$ + $\frac{1}{2}$$k$ = ($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$).

정육면체의 6개 면의 중심은 $ai$ + $bj$ + $ck$에서
$a$, $b$, $c$ 중 하나가 0 또는 1이고 나머지가 $\frac{1}{2}$인 조합을 찾으면 됩니다.
그러면 다음 6개 조합(면의 중심)이 있다는 것을 알 수 있습니다.
(0, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$)
(1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$)
($\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{2}$)
($\frac{1}{2}$, 1, $\frac{1}{2}$)
($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, 0)
($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, 1)

 

12. $xyz$ 공간에서 $i$ = (1, 0, 0)와 $i+j$ = (1, 1, 0)의 모든 선형 결합은 어떤 평면을 채우는가? 

답) 두 벡터의 선형 결합은 $ai$ + $b(i+j)$ = ($a+b$, $b$, 0)로 나타낼 수 있습니다.
모든 선형 결합은 모든 가능한 $a$, $b$를 의미하므로, 모든 선형 결합은 $z$축으로의 성분만 0이고 $x$, $y$는 어떤 값도 가질 수 있습니다.
따라서 문제의 모든 선형 결합은 xy평면을 채웁니다.