1.1f 벡터의 선형 결합 그리기 문제-2차원

벡터의 선형 결합을 2차원 $xy$평면 상에 그리는 연습 문제들을 풀어보겠습니다. 

15. 다음 그림(문제 15 ~ 19 해당)은 선형 결합 $\frac{1}{2}v$ + $\frac{1}{2}w$가 가리키는 점을 표시하였다. 마찬가지로 $\frac{3}{4}v$ + $\frac{1}{4}w$, $\frac{1}{4}v$ + $\frac{1}{4}w$, 그리고 $v$ + $w$를 점으로 표시하라.

답) 아래 그림과 같이 더하는 벡터들로 평행사변형을 그리면 그 대각선이 벡터들의 합을 나타냅니다. 한 예로 $\frac{1}{4}v$ + $\frac{1}{4}w$를 초록색 화살표로 표시했습니다.

각 벡터들의 합이 가리키는 점은 그림에 표시했습니다.

 

16. –$v$ + $2w$과 $c$ + $d$ = 1인 임의의 선형 결합 $cv$ + $dw$ 가 가리키는 점을 표시하라. 그리고 $c$ + $d$ = 1인 모든 선형 결합의 직선을 그려라.

답) –$v$ + $2w$과 15번 문제의 $\frac{1}{2}v$ + $\frac{1}{2}w$도 $c$ + $d$ = 1인 예입니다.
아래 그림에 점으로 표시했습니다.

선형 결합 $cv$ + $dw$은 $c$ + $d$ = 1이면,
$cv$ + (1 – $c$)$w$ = $w$ + $c$($v$ – $w$)으로 쓸 수 있습니다.
$w$ + $c$($v$ – $w$)는 식 그대로 $w$에서 $c$($v$ – $w$)만큼 이동한 점으로 표시할 수 있습니다.
위 그림에서 점선으로 그린 직선이 선형 결합 $cv$ + $dw$입니다.

 

17. $\frac{1}{3}v$ + $\frac{1}{3}w$과 $\frac{2}{3}v$ + $\frac{2}{3}w$을 나타내라. 선형 결합 $cv$ + $cw$은 어떤 선을 그리는가?

답) 이 문제는 선형 결합 $cv$ + $dw$에서 $c$ = $d$인 경우라고 할 수 있습니다.
즉, 선형 결합 $cv$ + $cw$은 그림의 파란 점선과 같이 원점과 $\frac{1}{2}v$ + $\frac{1}{2}w$ (또는 $\frac{1}{3}v$ + $\frac{1}{3}w$)을 지나는 직선이 됩니다.

$\frac{1}{3}v$ + $\frac{1}{3}w$과 $\frac{2}{3}v$ + $\frac{2}{3}w$ 역시 파란 직선 위에 위치합니다. 

 

18. 0 ≤ $c$ ≤ 1과 0 ≤ $d$ ≤ 1과 같아 제한을 한다고 하고 선형 결합 $cv$ + $dw$을 음영으로 표시하라.

답) 문제와 같이 0 ≤ $c$ ≤ 1과 0 ≤ $d$ ≤ 1일 경우, 선형 결합 $cv$ + $dw$은 $v$와 $w$가 만드는 평행사변형을 채울 수 있습니다. 이를 그리면 아래와 같습니다. 

19. $c$ ≥ 0그리고 $d$ ≥ 0일 때 모든 선형 결합 $cv$ + $dw$가 나타내는 cone을 그려라.

답) $c$ ≥ 0그리고 $d$ ≥ 0일 경우, 모든 선형 결합 $cv$ + $dw$은 아래 그림과 같이 1 사분면에서 $v$와 $w$ 방향의 직선들 사이의 ‘cone’을 채웁니다.