1장 벡터 행렬 문제 풀이

앞선 포스팅들에서 벡터, 벡터 선형 결합, 벡터의 내적과 길이, 벡터의 선형 독립, 행렬 등을 알아봤습니다. 이번 포스팅에서는공부한 내용들에 관한 연습 문제들을 풀어 보겠습니다. 문제는 내적의 계산, 벡터 길이의 계산, 벡터의 선형 독립 확인, 행렬과 벡터의 곱 등입니다.

 

내적 (dot product)

 

문제 1. 다음 벡터들의 내적 $u$·$v$ and $u$·$w$ and $u$·$(v+w)$을 계산하라:

 

$u$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$   $v$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \end{bmatrix}$   $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 7 \end{array} \end{bmatrix}$.

 

풀이) $u$·$v$ = –2 × 1 + 1 × 2 = 0.

 

$u$·$w$ = –2 × 4 + 1 × 7 = 1.

$u$·$(v+w)$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$·$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 + 4 \\ 2 + 7 \end{array} \end{bmatrix}$

 

= $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$· $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 5 \\ 9 \end{array} \end{bmatrix}$=   –2 × 5 + 1 × 9 = –1

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벡터의 길이

문제 2. 다음 9차원 벡터 $v$ = (1, 1, …, 1)의 길이는 얼마인가?

$v$와 같은 방향의 단위 벡터$u$와 수직 한 단위 벡터 $w$를 찾아라.

 

풀이) 벡터 $v$의 길이는 ||$v$|| = $\sqrt{v{\cdot}v}$에서 구할 수 있습니다.
$v$·$v$ = 1 + 1 + … + 1 = 9. ($v$가 9개 성분을 가지고 있기 때문에)
따라서, ||$v$|| = $\sqrt{9}$ = 3.

$v$와 같은 방향의 단위 벡터 $u$는 $u$ = $\frac{v}{||v||}$  = ($\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$,…, $\frac{1}{3}$)입니다.

 

$w$는 $v$에 수직 한 8차원 초평면(hyperplane)에 포함되는 어떤 벡터도 될 수 있습니다.
즉, 무수히 많은 벡터가 $v$에 수직 하다는 의미입니다.
내적 $v$·$w$이 0이 되는 벡터를 찾습니다. 

예를 들면, $w$ = (1, –1, 0, …, 0)/$\sqrt{2}$ 또는 (1, –1, 1, –1, 0, …, 0)/2.

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벡터의 독립 (independence)

문제 3. $x_{1}$ ≠ 0이고, $x_{1}w_{1}$ + $x_{2}w_{2}$ + $x_{3}w_{3}$ = 0을 만족하는 선형 결합을 찾아라:
$w_{1}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \end{bmatrix}$          $w_{2}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array} \end{bmatrix}$            $w_{3}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array} \end{bmatrix}$.
그리고 다음 빈칸을 채워라:
위 벡터들은 _____이다. (독립 또는 종속)
세 벡터들은 _____안에 있다.

풀이) $w_{1}$ + $w_{3}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 8 \\ 10 \\ 12 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\frac{1}{2}$$w_{2}$.

 

따라서, 선형 결합 $w_{1}$ – $\frac{1}{2}$$w_{2}$ + $w_{3}$은 영벡터(zero 벡터)입니다.

즉, $w_{1}$ – $\frac{1}{2}$$w_{2}$ + $w_{3}$ = 0 이므로 우리가 찾는 선형 결합입니다.
또한, 한 벡터가 다른 두 벡터의 선형 결합이므로, 세 벡터는 종속합니다.

그리고 세 벡터는 평면 안에 있습니다.

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행렬과 벡터의 곱

문제 4. 다음 행렬($A$)과 벡터$x$의 곱을 계산하여 $Ax$의 성분들을 구하라: 
$\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 6 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \end{bmatrix}$  and  $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$.

풀이) $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 6 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2{\cdot}1 + 1{\cdot}1 + 3{\cdot}(-1) \\ 1{\cdot}1 + 2{\cdot}1 + 3{\cdot}(-1) \\ 3{\cdot}1 + 3{\cdot}1 + 6{\cdot}(-1) \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{bmatrix}$.
따라서, $Ax$의 성분은 모두 0입니다.

$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2{\cdot}1 + 1{\cdot}1 \\ 1{\cdot}1 + 2{\cdot}1 \\ 3{\cdot}1 + 3{\cdot}1 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 6 \end{array} \end{bmatrix}$.
$Ax$의 성분은 3, 3, 6입니다.