1.1b 벡터의 덧셈, 뺄셈(문제3~5)

벡터의 기본적인 연산인 덧셈과 뺄셈에 대한 문제를 풀어보겠습니다.

 

3. 두 벡터 $v$, $w$의 합과 차가 각각 $v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 5 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$, $v$ – $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 5 \end{array} \end{bmatrix}$일 때 $v$, $w$을 역으로 계산하고 그려보아라.

답) ($v$ + $w$) + ($v$ – $w$) = 2$v$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 5+1 \\ 1+5 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 6 \\ 6 \end{array} \end{bmatrix}$ 

 
따라서 $v$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 3 \end{array} \end{bmatrix}$

이를 다시 $v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 5 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$에 대입하면
$w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ -2 \end{array} \end{bmatrix}$

 

위 벡터들을 그려보면 다음과 같습니다.

  

4. 다음 두 벡터 $v$, $w$에 대해 3$v$ + $w$와 $cv$ + $dw$를 계산하라:

$v$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$, $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \end{bmatrix}$

답) 3$v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 3{\cdot}2+1 \\ 3{\cdot}1+2 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 7 \\ 5 \end{array} \end{bmatrix}$
그리고
$cv$ + $dw$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} c{\cdot}2+d{\cdot}1 \\ c{\cdot}1+d{\cdot}2 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2c+d \\ c+2d \end{array} \end{bmatrix}$.

5. 다음 세 벡터가 있을 때, $u$ + $v$ + $w$와 2$u$ + 2$v$ + $w$를 계산하라. 

세 벡터는 $w$ = $cu$ + $dv$이기 때문에 한 평면에 있다. $c$와 $d$를 찾아라.

$u$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \end{bmatrix}$, $v$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -3 \\ 1 \\ -2 \end{array} \end{bmatrix}$, $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array} \end{bmatrix}$

답) $u$ + $v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1-3+2 \\ 2+1-3 \\ 3-2-1 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{bmatrix}$

2$u$ + 2$v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2{\cdot}1-2{\cdot}3+2 \\ 2{\cdot}2+2{\cdot}1-3 \\ 2{\cdot}3-2{\cdot}2-1 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$

사실 위에 첫 번째 계산에서 $u$ + $v$ + $w$ = 0임을 알 수 있습니다.
따라서 $w$ = – $u$ – $v$ 입니다. 
즉, $c$ = –1, $d$ = –1.