연습문제 2.1d 벡터의 성분 빼기, 프로젝션, 회전 (18~22)

이 연습문제들은 벡터의 성분을 빼는(더하는), 벡터를 프로젝션 또는 회전시키는 행렬에 관한 것입니다. 23~25번 MATLAB문제는 스킵하겠습니다.

문제 18 벡터의 성분 빼기

어떤 2 × 2 행렬 $E$가 아래 예와 같이 벡터의 두 번째 성분에서 첫 번째 성분을 빼는 역할을 합니까? 그리고 같은 역할을 하는 3 × 3 행렬은 무엇입니까?
$E$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 5 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$ 그리고 $E$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 5 \\ 7 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 7 \end{array} \end{pmatrix}$

답) 먼저 2 × 2의 경우는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$이 답입니다. 항등행렬 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$과 비교하여 $-$1이 어떻게 곱해지는지 알아보면 나중에 소거행렬을 이해하는데 도움이 될 것입니다.

그리고 구하는 3 × 3 행렬은 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

문제 19 벡터의 성분 더하는 행렬 & 역행렬

어떤 3 × 3 행렬 $E$가 (𝑥,𝑦,𝑧)를 (𝑥,𝑦,𝑧+𝑥)로 만들어 주나요? 그리고 어떤 행렬 $E^{-1}$가 (𝑥,𝑦,𝑧)를 (𝑥,𝑦,𝑧−𝑥)로 만들어 주나요? 만약 (3,4,5)를 행렬 𝐸로 곱한 후 다시 $E^{-1}$로 곱하면, 두 결과는 ( )와 ( )가 됩니다. 

답) 행렬 $E$는 벡터의 첫 번째 성분을 세 번째 성분에 더해주는 연산을 합니다.

  

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{c} x \\ y \\ x+z \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{c} x \\ y \\ z+x \end{array} \end{pmatrix}$이므로 답은 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

그리고 $E^{-1}$는 사실 $E$의 역행렬로 $E$가 한 연산을 되돌려 놓는 행렬입니다.

더했던 성분을 빼는 것이므로 답은 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

$E$를 (3,4,5)에 곱하면 (3,4,8)이 되고, 다시 여기에 $E^{-1}$를 곱하면 원래의 (3,4,5)이 됩니다. 따라서 괄호 안의 답은 (3,4,5)와 (3,4,8).

문제 20 프로젝션(사영)

어떤 2 × 2 행렬 $P_{1}$가 벡터 (x, y)를 x축에 투영하여 (𝑥,0)을 만드나요? 어떤 행렬 $P_{2}$가 y축에 투영하여 (0, y)를 만드나요? 만약 (5,7)을 행렬 $P_{1}$로 곱한 후 다시 $P_{2}$로 곱하면, 두 결과는 ( )와 ( )가 됩니다.

답) $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$이므로 $P_{1}$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$,

 
그리고 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ y \end{array} \end{pmatrix}$이므로 $P_{2}$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$.

$P_{1}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 5 \\ 7 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 5 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$, $P_{2}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 5 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$. 

즉, 괄호 안의 답은 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 5 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$와 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

문제 21 회전행렬

모든 벡터를 45도 회전시키는 2 × 2 행렬 𝑅은 무엇입니까? 벡터 (1,0)은 (√2/2, √2/2)로 이동합니다. 벡터 (0,1)은 (-√2/2, √2/2)로 이동합니다. 이를 이용해서 행렬을 결정할 수 있습니다.

답) $R$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} \sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 \end{array} \end{pmatrix}$이므로 $R$의 첫번째 열이 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} \sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 \end{array} \end{pmatrix}$임을 알 수 있습니다. 

 

마찬가지로 $R$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 \end{array} \end{pmatrix}$에서 $R$의 두번째 열이 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 \end{array} \end{pmatrix}$임을 알 수 있습니다.

따라서 $R$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{array} \end{pmatrix}$ = 1/2$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} \sqrt{2} & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{array} \end{pmatrix}$.

문제 22 회전행렬

(1, 4, 5)와 (x, y, z)의 내적을 행렬 곱셈 $Ax$로 작성하세요. 행렬 $A$는 한 개의 행을 가집니다. $Ax$ = 0의 해는 벡터 (__)에 수직인 (__) 위에 있습니다. 행렬 $A$의 열은 (__) 차원 공간에만 있습니다.

답) 두 벡터의 내적을 행렬곱 형태로 쓰면 $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 5 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \end{pmatrix}$입니다. $Ax$ = 0의 해는 벡터 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array} \end{pmatrix}$에 수직인 평면에 있게 되고, 행렬 $A$의 열은 성분이 한 개이므로 1차원 공간에만 있습니다. 즉, 괄호 안은 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array} \end{pmatrix}$, 평면, 1입니다.