5.2a 행렬식 계산: 피벗 식

행렬식을 계산하는 방법은 크게 세 가지 있습니다. 이번 포스팅에서는 그중 피벗을 곱하여 계산하는 피벗 식(pivot formula)을 알아보겠습니다. 이 방법은 삼각행렬의 행렬식이 대각 성분의 곱인 것을 이용합니다.

행렬식의 세 가지 계산 방법

1) 피벗을 이용: 피벗 식
2) Big formula
3) 여인수 이용

오늘은 첫 번째 방법인 피벗 식을 알아보겠습니다.

피벗 식

이 방법은 앞서 배운 행렬식의 7번 규칙을 이용합니다. 규칙 7은 삼각행렬의 행렬식은 대각 성분들의 곱이라는 것이기 때문에, 주어진 행렬을 삼각행렬들로 분해할 것입니다.

LU 분해(2.6 소거와 LU Factorization: A = LU)에서 행렬이 하부삼각행렬(L)과 상부삼각행렬(U)로 분해할 수 있다고 배웠습니다. 즉, 행렬 $A$는 $A$ = $LU$ (또는 $PA$ = $LU$).

 

그러면 규칙 9 (|$AB$| = |$A$||$B$|)를 이용하여, det $A$ = det $L$·det $U$입니다.

이때 $A$를 $LU$로 분해하기 위해서는 소거법을 이용하고, U의 대각 성분들이 바로 피벗이 됩니다. (참조 2.6 소거와 LU Factorization: A = LU)

그리고 L의 대각 성분은 모두 1이기 때문에 det L = 1입니다.
따라서 det $A$ = det $U$ = $d_{1}d_{2}{\cdots}d_{n}$.
여기서 $d_{1}$, $d_{2}$, …, $d_{n}$은 $U$의 대각 성분들입니다.

그리고 $A$를 $LU$로 분해하기 위해서 치환이 필요한 경우가 있습니다. (5.1b 행렬식의 규칙의 규칙 10 참조)
다시 말하면, $PA$ = $LU$인 경우입니다.
여기서 $P$는 행 교환을 해주는 치환행렬입니다.

치환행렬은 사실 단위행렬 $I$에서 행 교환을 해준 행렬입니다.
따라서 행 교환의 횟수가 홀수이면 det $P$ = –1, 짝수이면 det $P$ = 1입니다.

 

$A$ = $LU$일 때, det $A$ = $d_{1}d_{2}{\cdots}d_{n}$ 이므로
$PA$ = $LU$인 경우는 det $A$ = ± $d_{1}d_{2}{\cdots}d_{n}$ 입니다.
부호는 P의 행 교환 횟수에 의해 결정됩니다: 짝수 +, 홀수 –.

그럼 다음 예를 보겠습니다.

A = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \end{pmatrix}$.

$A$를 소거하여 상부삼각행렬로 만들면,

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{4} \end{array} \end{pmatrix}$ 

이 행렬의 대각 성분들이 피벗들이고, det $A$ = 2·$\frac{3}{2}$·$\frac{4}{3}$·$\frac{5}{4}$ = 5.

다음은 치환이 필요한 또 다른 예를 보겠습니다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$. 

이 행렬을 상부삼각행렬로 만들려면 1행과 3행을 교환해야 합니다.

행렬식의 규칙 2를 이용하면 (5.1b 행렬식의 규칙 참조),

det $A$ = $-\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \end{pmatrix}$= – 6.