5.1b 행렬식의 규칙

이번 포스팅은 전 시간에 이어 행렬식의 규칙을 알아보겠습니다.

 

행렬식의 규칙

사실 앞서 배운 3개의 행렬식 규칙은 행렬식을 결정하는 중요 규칙입니다. (참조: 5.1a 행렬식은 무엇인가?)

이 규칙들은 오늘 배울 7개의 규칙을 유도할 수 있습니다. 

규칙 4. 행렬 A의 두 행이 같으면, det A = 0.

 

먼저 2 × 2의 경우는,
다음과 같이 $A$의 두 행이 같다면,

det $A$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ a & b \end{array} \end{vmatrix}$ = $ab$ – $ab$ = 0.

공식에 의해 쉽게 확인할 수 있습니다.
더 큰 행렬의 경우는 규칙 2를 이용해서 설명할 수 있습니다. (참조: 5.1a 행렬식은 무엇인가?)

 

규칙 2에 의하면 두 행을 교환하면, 행렬식의 부호가 바뀌어야합니다.
그런데 같은 두 행을 교환하면 행렬은 변화가 없습니다.

 

즉, 행렬식은 변화가 없지만 부호가 바뀌어야 되는,
det $A$ = –det $A$의 경우입니다.
따라서 det $A$ = 0 입니다.

 

규칙 5. 다른 행에서 한 행의 배수를 빼도 행렬식은 그대로입니다.

 

예를 들면,

$\begin{vmatrix} \begin{array}{cc} a & b \\ c - la & d - lb \end{array} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$.

이것은 규칙 3을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.(참조:5.1a 행렬식은 무엇인가?)

$\begin{vmatrix} \begin{array}{cc} a & b \\ c - la & d - lb \end{array} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$ $-$ $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ a & b \end{array} \end{vmatrix}$. 

우변의 두 번째 항은 규칙 4에 의해 0.

 

규칙 6. 성분이 모두 0인 행이 있다면, det $A$ = 0.

 

규칙 5와 4를 이용하면 설명할 수 있습니다.
규칙 5에 의해,

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ 0 & 0 \end{array} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ a & b \end{array} \end{vmatrix}$. 

그리고 우변은 규칙 4에 의해 0.

 

규칙 7. $A$가 삼각행렬이면, det $A$ = $a_{11}a_{22}…a_{nn}$. 
즉, 행렬식은 대각 성분들의 곱입니다.

예를 들면,

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$ = $ad$, $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$ = $ad$.

사실 위 예에서 $b$와 $c$가 0이어도 행렬식은 같습니다.

즉, $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$.

3 × 3보다 큰 경우는 규칙 5을 이용하여 설명할 수 있습니다. 규칙 5에 의하면 어떤 행에서 다른 행의 배수를 빼주어도 행렬식은 변하지 않습니다. 

그런데 삼각행렬은 행들의 배수를 빼서 비대각(off-diagonal) 성분들을 0으로 만들수 있습니다. 위 예에서는 $b$또는 $c$가 비대각 성분이고, $b$를 0으로 하려면 1행에서 2행 × $\frac{b}{d}$를 빼주면 됩니다. 

즉, 삼각행렬의 행렬식은 비대각 성분이 모두 0인 대각행렬의 행렬식과 같습니다.
그러면 마지막으로 다음을 보이면 됩니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a_{11} & & 0 \\ & {\ddots} & \\ 0 & & a_{nn} \end{array} \end{vmatrix}$ = $a_{11}$…$a_{nn}$.

이것은 규칙 3에 의해

= $a_{11}$⋯$a_{nn}$ $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 1 & & 0 \\ & {\ddots} & \\ 0 & & 1 \end{array} \end{vmatrix}$

= $a_{11}$⋯$a_{nn}$det $I$.
= $a_{11}$⋯$a_{nn}$.

 

규칙 8. $A$가 비가역(non-invertible or singular)이면, det $A$ = 0. 그리고 $A$가 가역이면, det $A$ ≠ 0.

 

$A$가 가역이려면, $A$가 정방행렬이고 모든 행에 피벗이 있어야합니다. (참조:3.3c 랭크로 분류하는 R의 네 가지 경우) 그리고 규칙 5를 이용하면, det $A$ = det $T$인 삼각행렬 $T$가 있습니다.

 

또한 모든 행에 피벗이 있으려면 $T$의 모든 대각 성분은 0이 아니어야합니다.

 

규칙 7에 의해서 행렬식은 T의 대각 성분들의 곱이므로, $A$가 가역이려면 det $A$ = det $T$ ≠ 0입니다.

반대로 det $A$ = 0이면 비가역입니다.

 

규칙 9. $AB$의 행렬식은 det $A$ 곱하기 det $B$입니다. 즉, |$AB$| = |$A$| |$B$|.

 

이 규칙을 설명하려면 먼저 $D(A)$ = |$AB$|/|$B$|을 정의합니다. 그리고 $D(A)$가 |$A$|와 같다는 것을 보일 것입니다. 

 

이를 위해서 $D(A)$가 det $A$와 마찬가지로 3개의 중요규칙을 따르는 것을 보일 것입니다. 

 

1. $A$ = $I$이면 비율 $D(A)$는 |$B$|/|$B$|가 됩니다. 즉, $D(A)$ = det $A$ = 1.

2. A의 두 행이 교환되면 동일한 $AB$의 두 행도 교환됩니다. 이 것은 행 교환을 하는 전치행렬 $P$과 세 행렬의 곱의 법칙을 이용하면 다음과 같이 설명할 수 있습니다: $(PA)B$ = $P(AB)$. 

따라서 $A$의 두 행을 변경하면 결국 $AB$의 동일한 두 행이 변경됩니다.

규칙 2에 의해 det A의 부호가 바뀌면 $D(A)$의 부호가 바뀝니다.

3. $A$의 한 행에 $t$를 곱하면 AB의 대응되는 행에도 $t$가 곱해집니다. 그러면 det $A$는 $t$·det $A$가 되고, $D(A)$도 $t$·$D(A)$가 됩니다. 마찬가지로 $A$의 한 행에 $A'$의 대응되는 행을 더하면, $AB$에 $A'B$의 대응되는 행을 더한 것과 같습니다. 역시 규칙 3에 따라 행렬식이 det $A$ + det $A'$가 되고, $D(A)$도 $D(A)$ + $D(A')$가 됩니다.

정리하면 $D(A)$는 det $A$와 같은 값을 같게 됩니다.
즉, $D(A)$ = |$A$|.
→ |$AB$|/|$B$| = |$A$|.
→ |$AB$| = |$A$||$B$|.

 

규칙 10. $A^{T}$의 행렬식은 $A$의 행렬식과 같다. 즉, det $A^{T}$ = det $A$.

 

만약 $A$가 비가역이면 |$A$| = 0인데, $A^{T}$ 역시 비가역이기므로 |$A^{T}$| = 0. (규칙 8의 내용을 참조하시기 바랍니다.)

$A$가 가역이면, $A$ = $LU$를 이용합니다. (참조: 2.6 소거와 LU Factorization: A = LU)
여기서 $L$과 $U$는 하부와 상부 삼각행렬이고, 전치를 해도 대각 성분에는 변화가 없기 때문에 det $L^{T}$ = det $L$ (= 1), det $U^{T}$ = det $U$입니다.
따라서 det $A^{T}$ = det $A$. 

사실 더 일반적인 증명은 $PA$ = $LU$를 이용해야 합니다.
왜냐하면 다음과 같이 피벗의 위치가 순서 맞지 않아 삼각행렬을 만들 수 없는 경우에는 $P$로 행 교환을 해야 하기 때문입니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{ccc} p & ? & ? \\ 0 & 0 & p' \\ 0 & p'' & ? \end{array} \end{vmatrix}$   

그러면, $PA$ = $LU$를 이용해 det $A^{T}$ = det $A$를 보이겠습니다.

$PA$ = $LU$에서
det $(PA)$ = det $L$·det $U$.

 

det $(PA)^{T}$ = det $A^{T}P^{T}$ = det $A^{T}$·det $P^{T}$.
= det $U^{T}$·det $L^{T}$.

 

위에서 보인 바와 같이 det $U^{T}$·det $L^{T}$ = det $L$·det $U$이므로,
det $PA$ = det $(PA)^{T}$.

 

규칙 9에 따라
→ det $P$·det $A$ = det $A^{T}$·det $P^{T}$.

그리고 $P^{T}$ = $P^{-1}$임을 이용합니다. (참조 2.7c 전치와 치환행렬)
→ $P^{T}P$ = $I$.
→ det $P^{T}$·det $P$ = 1
그런데 $P$는 $I$에서 행 교환만을 한 행렬이므로 행렬식은 1 또는 –1이어야 합니다.
따라서 det $P^{T}$와 det $P$는 둘 다 1이거나 –1입니다.
즉, det $P^{T}$ = det $P$.

다시 det $P$·det $A$ = det $A^{T}$·det $P^{T}$에 det $P^{T}$ = det $P$를 넣으면
→ det $P$·det $A$ = det $A^{T}$·det $P$.
→ det $A$ = det $A^{T}$.

 

이 규칙들을 이용해서 다음 행렬식을 구해보겠습니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \end{vmatrix}$ 

= $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$ – $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} c & 0 \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$

= $ad$$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \end{vmatrix}$  – $bc$$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \end{vmatrix}$

= $ad$·det $I$ – $bc$·det $I$
= $ad$ – $bc$.