5.2c 행렬식 계산: 여인수 이용

마지막으로 알아볼 행렬식 계산 방법은 여인수(cofactor)를 이용합니다. i행 j열 여인수는 보통 $C_{ij}$로 쓰고, 소행렬식 $M_{ij}$에 부호를 붙여 $(-1)^{i+j}M_{ij}$로 정의됩니다. 소행렬식은 원래의 행렬에서 해당 행과 열을 제거한 행렬의 행렬식을 의미합니다.

여인수를 이용한 행렬식 계산

이번에도 3 × 3의 예를 들어보겠습니다.

$A$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \end{vmatrix}$ 

앞서 배운 Big Formula 방법에서는
det $A$ = $a_{11}a_{22}a_{33}$ + $a_{12}a_{23}a_{31}$ + $a_{13}a_{21}a_{32}$ $-$ $a_{11}a_{23}a_{32}$ $-$ $a_{12}a_{21}a_{33}$ $-$ $a_{13}a_{22}a_{31}$였습니다.
(참조 5.2b 행렬식 계산: Big Formula)

이를 다시 다음과 같이 쌍을 묶어서 정리할 수 있습니다.
det $A$ = $a_{11}(a_{22}a_{33}\:-\:a_{23}a_{32})$ + $a_{12}(a_{23}a_{31}\:-\:a_{21}a_{33})$ + $a_{13}(a_{21}a_{32}\:-\:a_{22}a_{31})$.

여기서 괄호 밖의 성분들은 1행의 성분들입니다.
그리고 괄호 안의 식이 바로 여인수입니다.

 

위 식의 우변을 다시 행렬식으로 쓰면

= $\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} a_{11} & & \\ & a_{22} & a_{23} \\ & a_{32} & a_{33} \end{array} \end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} & a_{12} & \\ a_{21} & & a_{23} \\ a_{31} & & a_{33} \end{array} \end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} & & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & \\ a_{31} & a_{32} & \end{array} \end{vmatrix}$

각 행렬식의 패턴을 살펴보면 괄호 밖의 성분(즉, 1행의 성분)을 빼면, 그 성분의 행과 열을 제외한 성분만 남게 됩니다.
남은 성분들로 행렬식을 만들면 다음과 같이 작은 행렬식을 만들 수 있습니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \end{vmatrix}$

이 작은 행렬식들을 소행렬식(minor)라고 하고, 보통 $M_{ij}$로 씁니다.
여기서 $i$, $j$는 제거된 행과 열의 번호가 되겠습니다.

그리고 소행렬식에 부호 $(-1)^{i+j}$를 합치면 바로 여인수가 됩니다.
여인수는 보통 $C_{ij}$로 쓰고, 이를 식으로 정리하면
$C_{ij}$ = $(-1)^{i+j}M_{ij}$.

det $A$를 여인수를 써서 나타내면,
det $A$ = $a_{11}C_{11}$ + $a_{12}C_{12}$ + $a_{13}C_{13}$

일반적으로 $n$ × $n$의 경우는
det $A$ = $a_{11}C_{11}$ + $a_{12}C_{12}$ + $\cdots$ + $a_{1n}C_{1n}$가 됩니다.

다음 행렬식은

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \end{vmatrix}$ 

여인수를 쓰면 행렬식은

2$C_{11}$ $-$ $(-1)C_{12}$

= $2\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \end{vmatrix}$ $-$ $(-1)\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \end{vmatrix}$ 

이 예에서는 1행에 0이 두 개가 있습니다. 
만약 한 행에 0이 많은 경우 여인수를 이용하면 행렬식의 계산이 훨씬 간단해집니다.