5.2b 행렬식 계산: Big Formula

행렬식을 계산하는 두 번째 방법은 Big formula입니다. 이 방법은 행렬식의 선형성을 이용하여 행렬식을 여러 개로 나누어 계산합니다. 이때 각 행렬식은 행 또는 열마다 하나의 성분만을 선택하도록 하여, 행 교환을 해주면 대각 성분만이 남게 됩니다. 따라서 각 행렬식은 선택한 성분들의 곱이 되고, 부호는 행 교환 횟수로 결정됩니다.

Big Formula

먼저 2 × 2의 예를 보겠습니다.
다음 행렬식은 규칙 3에 의해 다음과 같이 나눌 수 있습니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 0 & b \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$

= $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ c & 0 \end{array} \end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 0 & b \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$.

여기서 1, 4번째 항은 규칙 5와 6에 의해 0이 됩니다. (5.1b 행렬식의 규칙)

 

즉,

= $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \end{vmatrix}$.

남은 두 행렬식은 각 행 또는 열에서 한 개의 성분만을 선택했다고 볼 수 있습니다. 

 

그리고 선택되지 않은 성분들은 모두 0으로 합니다. 

 

두 번째 행렬식의 두 행을 교환하면, 규칙 2에 의해(5.1a 행렬식은 무엇인가?),

= $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$ $-$ $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} b & 0 \\ 0 & c \end{array} \end{vmatrix}$.

= $ad$ $-$ $bc$.

두 번째 행렬식은 대각 행렬로 만들기 위해 행 교환이 1번 필요한데, 이 횟수가 홀수이면 –, 짝수이면 +입니다. 

다음은 3 × 3의 경우를 보겠습니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \end{vmatrix}$ 

= $a_{11}a_{22}a_{33}$ + $a_{12}a_{23}a_{31}$ + $a_{13}a_{21}a_{32}$ $-$ $a_{11}a_{23}a_{32}$ $-$ $a_{12}a_{21}a_{33}$ $-$ $a_{13}a_{22}a_{31}$.

 

위 와 같이 6개의 항으로 나뉘는데, 각 항은 같은 행과 열의 성분이 없도록 선택된 것입니다.
예를 들어 두 번째 항은 다음 행렬식으로 계산된 것입니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0 \end{array} \end{vmatrix}$ 

= $a_{12}a_{23}a_{31}$$\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \end{vmatrix}$

위 식은 $A$의 성분들의 곱과 치환행렬 $P$로 나뉩니다.
$P$를 $I$로 만들기 위해선 2번의 행 교환이 필요하므로 det $P$ = 1.
따라서 해당 항의 부호가 +입니다.

마찬가지로 다른 항들도 각각 $A$의 성분들의 곱과 치환행렬 $P$로 나뉘고, det $P$가 부호를 결정합니다.

정리하면 행렬 $A$를 Big formula로 계산하면
det $A$ = ${\sum}(det⁡ P)a_{1{\alpha}}a_{2{\beta}}{\cdots}a_{n{\omega}}$. 

Big formula는 $n$ × $n$ 행렬의 행렬식을 계산하려면 $n!$ 개의 항을 계산해야 합니다. 

3 × 3 은 6개 항, 4 × 4는 24개, 5 × 5는 120개, 행렬의 크기가 커질수록 계산량이 매우 커집니다.