5.1a 행렬식은 무엇인가?

5장에서는 행렬식(determinant)을 배울 것입니다. 행렬 $A$의 행렬식은 det $A$ 또는 |$A$| 등으로 씁니다. 그리고 행렬식의 값은 이번 포스팅에서 배울 몇 개의 규칙에 의해 정해집니다. 이 Rule들을 이해해야 행렬식의 공식이나 구하는 방법을 이해할 수 있습니다.

 

고등학교에서 배운 행렬식 계산

먼저 고등학교에서 배운 행렬식을 복습해 보겠습니다.
행렬 $A$의 행렬식은 보통 det $A$ 또는 |$A$|로 씁니다.

1) 2 × 2 행렬: $ad\:-\:bc$

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{pmatrix}$의 행렬식 det $A$

det $A$ = $ad\:–\:bc$.

2) 3 × 3 행렬: cofactor & minor 
3 × 3 이상의 경우는 식을 외우는 것보다 여인수(cofactor)와 소행렬식(minor)를 이용한 계산법을 배우는 것이 좋습니다. 

다음 3 × 3 행렬 $A$가 있다고 하겠습니다.

$A$= $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \end{pmatrix}$

그러면 $a_{11}$의 소행렬식 $M_{11}$은

$M_{11}$ = det $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \end{pmatrix}$ 

$M_{ij}$은 $A$의 $i$행과 $j$열을 제외한 부분의 행렬식입니다.
그리고 여인수 $C_{ij}$는 $C_{ij}$ = $M_{ij}$ × $(-1)^{i+j}$입니다.

 

이제 여인수를 이용하면,
행렬식은 det $A$ = $a_{11}$·$C_{11}$+ $a_{12}$·$C_{12}$ + $a_{13}$·$C_{13}$과 같이 구할 수 있습니다.

이 방법이 2 × 2 경우에 적용되면 det $A$ = $a_{11}$·$C_{11}$ + $a_{12}$·$C_{12}$ = $a$·det ($d$) – $b$·det ($c$)이고,

결국 det $A$ = $ad\:-\:bc$를 얻을 수 있습니다. 
여기서 1 × 1 행렬 $A$ = $(a)$의 행렬식은 $a$입니다.

행렬식을 계산하는 법은 나중에 좀 더 자세히 알아보기로 하고, 지금은 행렬식의 규칙들을 배워보겠습니다. 

행렬식의 규칙

아마도 대부분은 행렬식이 정확히 무엇인지 배운 적이 없을 것입니다. 사실 행렬식은 우리가 이제 배울 규칙들을 따르는 어떤 값일 뿐입니다. 이 규칙들을 알면 행렬식을 계산하는 방법들을 이해할 수 있습니다.

그럼 행렬식의 규칙을 알아보겠습니다.

규칙 1. 단위행렬의 행렬식은 1이다.
행렬의 크기에 관계없이 단위행렬의 행렬식은 모두 1입니다.

예를 들어, |1| = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \end{vmatrix}$ = 1.

규칙 2. 행 교환을 하면 행렬식의 부호가 바뀐다.
예를 들어, 다음과 같이 단위행렬에서 행 교환을 한 번 하면, 행렬식은 –1이 됩니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \end{vmatrix}$ = –1. 

규칙 3. 행렬식은 각 행의 개별적인 선형 함수이다.
이 규칙은 다음과 같이 둘로 나눠 설명할 수 있습니다. 
1) 만약 행렬 $A$의 한 행에 $t$를 곱하면, 행렬식은 $t|A|$가 됩니다.
예를 들면,

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} ta & tb \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$ = $t$$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$.

2) 다음과 같이 행렬식을 나눌 수 있습니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{cc} a + a' & b + b' \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a' & b' \\ c & d \end{array} \end{vmatrix}$.

여기서 주의할 점은 위 규칙은 각 행에 따로 적용된다는 것입니다.
예를 들어,

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \end{vmatrix}$ = 3·3·det $I$ = 9.