6.1c 고유값과 행렬식 그리고 트레이스(trace)

이번 포스팅에서는 고유값과 행렬식 그리고 트레이스(trace)와의 관계에 대하여 알아보겠습니다. 여기서 트레이스는 대각 성분들의 합을 의미합니다. 고유값들의 곱은 행렬식과 같고, 고유값들의 합은 트레이스와 같습니다.

1. $n$ × $n$ 행렬의 고유값은 $n$개

$n$ × $n$ 행렬 $A$의 특성방정식 det($A\:-\:{\lambda}I$) = 0은 다음과 같이 λ의 $n$차 방정식이 됩니다. 
det($A\:-\:{\lambda}I$) = ($-$1)$^{n}$(${\lambda}^{n}$ + $c_{n-1}{\lambda}^{n-1}$ + ${\cdots}$ + $c_{1}{\lambda}$+$c_{0}$).
왜냐하면 $A\:-\:{\lambda}I$의 대각 성분은 $A_{ii}\:-\:{\lambda}$이므로 ${\lambda}^{n}$의 부호는 $n$에 의해 결정되기때문입니다.  

복소수 해를 포함하면 위의 괄호 안 $n$차 다항식은 인수정리를 하여 (${\lambda}\:-\:{\lambda}_{1}$)$\cdots$(${\lambda}\:-\:{\lambda}_{n}$)와 같이 쓸 수 있습니다.

 

따라서 $A$는 ${\lambda}_{1}$,$\cdots$, ${\lambda}_{n}$를 고유값으로 갖게 되고, 고유값의 개수는 $n$이 됩니다.

2. 고유값들의 곱은 행렬식과 같다.

이를 보이기 위해 다음 $\lambda$의 함수를 정의하겠습니다.
$f({\lambda})$ = det($A\:-\:{\lambda}I$) = ($-$1)$^{n}$(${\lambda}^{n}$ + $c_{n-1} {\lambda}^{n-1}$ + $\cdots$ + $c_{1} {\lambda}$ + $c_{0}$).

$\lambda$ = 0일 경우 
$f(0)$ = det($A\:-\:0I$) = det $A$ = ($-$1)$^{n}c_{0}$

그런데 위에서 λ의 $n$차 다항식은 인수정리를 하여 (${\lambda}\:-\:{\lambda}_{1}$)$\cdots$(${\lambda}\:-\:{\lambda}_{n}$)와 같다고 하였습니다. 

 

여기에 $\lambda$ = 0를 대입하면
$f(0)$ = ($-$1)$^{n}$($-$1)$^{n}$${\lambda}_{1}{\lambda}_{2}{\cdots}{\lambda}_{n}$ = ($-$1)$^{2n}$${\lambda}_{1}{\lambda}_{2}{\cdots}{\lambda}_{n}$ = ${\lambda}_{1}{\lambda}_{2}{\cdots}{\lambda}_{n}$

 

따라서 det $A$ = ${\lambda}_{1}{\lambda}_{2}{\cdots}{\lambda}_{n}$
즉, $A$의 행렬식은 고유값들의 곱이 됩니다.

3. 고유값들의 합은 트레이스와 같다.

트레이스(Trace)는 행렬의 대각 성분들의 합을 의미합니다.
$n$ × $n$ 행렬 $A$의 $i$행 $j$열 성분을 $a_{ij}$로 표현하면 Trace = $a_{11}$ + $a_{22}$ + $\cdots$ + $a_{nn}$.

고유값과 트레이스와의 관계를 보기 위해서 행렬식 det($A_{ii}\:-\:{\lambda}$)을 다음과 같이 써보겠습니다.

$\begin{vmatrix} \begin{array}{ccc} a_{11}\:-\:{\lambda} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\:-\:{\lambda} \end{array} \end{vmatrix}$ 

= ($a_{11}\:-\:{\lambda}$)$\cdots$($a_{nn}\:-\:{\lambda}$) + $R(\lambda)$

여기서 $R(\lambda)$는 행렬식에서 대각 성분들의 곱을 제외한 나머지 항들을 의미합니다.
행렬식의 Big formula 계산법을 기억해보면 $R(\lambda)$에서 $\lambda$의 가장 높은 차수는 ${\lambda}^{n\:-\:2}$임을 확인할 수 있습니다. (5.2b 행렬식 계산: Big Formula 참조)

 

다시 설명하면 대각 성분들의 곱인 ($a_{11}\:-\:{\lambda}$)$\cdots$($a_{nn}\:-\:{\lambda}$)가 아니면 λ의 다항식에서 $n\:-\:1$ 이상의 차수를 절대로 만들 수 없습니다.

이제 ${\lambda}^{n-1}$의 계수를 살펴보겠습니다. 

앞서 말한대로 $n\:-\:1$차 항은 ($a_{11}\:-\:{\lambda}$)$\cdots$($a_{nn}\:-\:{\lambda}$)에서밖에 나올 수 없습니다. 

식을 전개하면 ${\lambda}^{n-1}$의 계수가 ($-1$)$^{n-1}$($a_{11}$ + $a_{22}$ + $\cdots$ + $a_{nn}$)임을 알 수 있습니다.

그리고 det($A\:-\:{\lambda}I$)을 고유값을 이용해서 쓰면 ($-1$)$^{n}$(${\lambda}\:-\:{\lambda}_{1}$)$\cdots$(${\lambda}\:-\:{\lambda}_{n}$)입니다. 

 

마찬가지로 ${\lambda}^{n-1}$의 계수를 보면 ($-1$)$^{n+1}$(${\lambda}_{1}$ + ${\lambda}_{2}$ + ${\cdots}$ + ${\lambda}_{n}$)임을 확인할 수 있습니다. 

위에서 본 두 경우의 ${\lambda}^{n-1}$의 계수를 비교하면, 앞에 부호는 같기 때문에 ${\lambda}_{1}$ + ${\lambda}_{2}$ + ${\cdots}$ + ${\lambda}_{n}$ = $a_{11}$ + $a_{22}$ + $\cdots$ + $a_{nn}$.

 

4. 예제 

 
그러면 다음의 간단한 예를 보겠습니다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array} \end{pmatrix}$

고유값을 det ($A\:-\:{\lambda}I$) = 0을 이용해서 구해보면
det ($A\:-\:{\lambda}I$) = (1 – $\lambda$)(3 – $\lambda$).

 

즉, 고유값은 1, 3입니다.

 

그리고 det $A$ = 1·3 – 2·0 = 3이고
이것은 고유값들의 곱과 같습니다.

 

마지막으로 대각 성분들의 합(트레이스)은 고유값의 합과 같음을 알 수 있습니다.
(사실, 삼각행렬은 대각 성분들이 고유값이 됩니다.)

지금까지 고유값과 관련된 기본적인 내용들을 알아봤습니다. 

다음 시간에는 고유값과 관련된 좀 더 재밌는 특성들을 배워보겠습니다.