5.3e 삼중곱(triple product)과 부피

세 벡터 $u$, $v$, $w$의 삼중곱 또는 스칼라 삼중곱은 ($u$ × $v$)${\cdot}w$입니다. 삼중곱은 기하학적으로 세 벡터가 만드는 육면체의 부피와 같습니다.

삼중곱

세 벡터 $u$, $v$, $w$의 삼중곱은 ($u$ × $v$)${\cdot}w$ 입니다. 벡터의 순서가 바뀌어도 내적은 같기때문에 ($u$ × $v$)${\cdot}w$ = $w{\cdot}$($u$ × $v$).

$u$ = ($u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$), $v$ = ($v_{1}$, $v_{2}$, $v_{3}$), $w$ = ($w_{1}$, $w_{2}$, $w_{3}$)라고 하면

 

($u$ × $v$)${\cdot}w$ = $w_{1}$($u_{2}v_{3}$ – $u_{3}v_{2}$) + $w_{2}$($u_{3}v_{1}$ – $u_{1}v_{3}$) + $w_{3}$($u_{1}v_{2}$ – $u_{2}v_{1}$)

 

이를 행렬식으로 표현하면

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} w_{1} & w_{2} & w_{3} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rrr} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array} \end{vmatrix}$.

이전에 두 벡터의 외적의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이라고 배웠습니다. (참조 5.3d 외적(cross product))

 

즉 ||$u$ × $v$||는 아래 그림에서 녹색으로 표시된 평행사변형의 넓이입니다.

그리고 삼중곱은 삼각함수를 이용하여 나타내면
($u$ × $v$)${\cdot}w$ = ||$u$ × $v$||$\cdot$||w||cos$\theta$.

그런데 ||$w$||cos$\theta$는 평행 육면체의 높이이므로 삼중곱은 육면체의 부피가 됩니다.
 
만약 세 벡터가 같은 평면 위에 있다면 ($u$ × $v$)${\cdot}w$ = 0입니다.
이는 $u$ × $v$가 그 평면에 수직하므로 역시 $w$와도 수직 하기 때문입니다.
이는 또한 세 벡터가 만드는 육면체의 부피가 0임을 의미하기도 합니다.