6.1a 고유값(Eigenvalues)과 고유벡터(Eigenvectors)

어떤 행렬 $A$가 있을 때 우리는 고유벡터를 찾을 수 있습니다. 고유벡터는 $A$를 곱해주어도 방향이 변하지 않는 벡터를 의미합니다. 즉, 고유벡터 $x$는 $Ax$ = $\lambda$$x$인 벡터이고, 숫자 $\lambda$는 $A$의 고유값이라고 합니다.

고유벡터

일반적으로 어떤 행렬과 곱해졌을 때 거의 모든 벡터는 방향을 바꾸게 됩니다. 사실 6장에서는 이런 벡터들에는 관심이 없습니다. 우리가 배울 벡터들은 예외적으로 방향이 변하지 않는 벡터들입니다. 

어떤 행렬 $A$가 있다고 하겠습니다.
그러면 $A$에 대한 고유벡터 $x$는 다음 식을 따르게 됩니다.
$Ax$ = $\lambda$$x$ 

 

여기서 $\lambda$는 숫자를 의미하고 고유값이라고 불립니다.
$\lambda$는 1이 아닐수도 있기 때문에 $A$가 곱해졌을 때 $x$의 크기는 변할 수 있습니다.
중요한 것은 고유벡터는 방향을 바꾸지 않는다는 것입니다.

그래서 방향의 개념이 없는 0벡터는 고유벡터가 아닙니다. 하지만 고유값은 0이 될 수 있습니다.

여기서 주의할 점은 고유값은 음수, 복소수도 될 수 있다는 것입니다.
음수가 곱해지면 사실 벡터는 역방향을 향하게 되는 것이고, 복소수를 곱하면 복소평면 상에서 회전을 하는 것이지만, 고유벡터는 방향을 그대로 유지하는 것으로 봅니다. 

 

다시 말하지만 $Ax$ = $\lambda$$x$와 같이 $A$를 곱해도 $x$의 상수배가 되기 때문입니다. 

고유값의 몇 가지 경우를 보면 고유값이 어떻게 고유벡터를 변화시키는지를 알 수 있습니다.

예를 들어, 고유값이 1이면 $A$를 곱해도 고유벡터는 변하지 않습니다.
고유값이 ½이면 $A$를 곱할 때마다 고유벡터 $x$는 작아집니다.
고유값이 –1이면 $A$를 곱할 때마다 방향이 역전됩니다.

고유값 구하기

$Ax$ = $\lambda$$x$에서 우변을 좌측으로 넘기면, $Ax$ – $\lambda$$x$ = 0.
$A$는 행렬이고 $\lambda$는 숫자이므로 $\lambda$쪽에 $I$를 곱해서 정리하면,
($A$ – $\lambda$$I$)$x$ = 0.

 

0이 아닌 $x$를 해로 갖기 위해서는 괄호 안에 행렬은 역행렬이 없어야 합니다.
즉, 그 행렬식은 아래와 같이 0이어야 합니다.

 

det($A$ – $\lambda$$I$) = 0
이 식을 특성 방정식(characteristic equation)이라고 합니다.

그럼 다음 예를 보겠습니다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \end{pmatrix}$

그러면 det($A\:-\:{\lambda}I$) = $\begin{pmatrix} \begin{array}{cc} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 4 - \lambda \end{array} \end{pmatrix}$

= ($1\:-\:\lambda$)($4\:-\:{\lambda}$) $-\;2{\cdot}2$
= $\lambda^{2}\:-5\:\lambda$ = $\lambda$($\lambda\:-\:5$)

따라서 고유값은 $\lambda$ = $0, 5$입니다.
각 고유값에 대해 $Ax$ = $\lambda$$x$을 풀면

 

$\lambda$ = 0일 때:

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$ = 0

 

이에 대한 고유벡터는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$.

$\lambda$ = 5일 때:

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$ = $5$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$.

 

이에 대한 고유벡터는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$.