3.1d 열 공간(column space)

어떤 행렬 $A$가 주어졌을 때 열 공간(column space)은 열의 모든 선형 결합으로 이루어진 공간입니다. 사실, 행렬 방정식 $Ax$ = $b$의 좌변 $Ax$는 열의 선형 결합이기 때문에, 방정식이 해를 가지려면 $b$는 그 열 공간에 속해야 합니다.

이번 포스팅은 가장 중요한 부분 공간 중 하나인 열 공간에 대해 알아보겠습니다.

 

열 공간의 정의

열 공간의 정의는 다음과 같습니다.
정의: 행렬 $A$의 열 공간은 $A$의 열의 모든 선형결합으로 이루어진다. 
보통 $C(A)$라고 씁니다.

앞서 1장에서 배웠듯 $Ax$는 열의 선형결합이므로, 

열 공간은 모든 가능한 $Ax$를 포함합니다. (1.3 행렬 (1) 참고)

다음 예를 보겠습니다.

행렬 $A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} \end{pmatrix}$가 있습니다.

그러면 $Ax$는 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$이고

$x_{1}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$ + $x_{2}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$와 같습니다.

이 모든 가능한 선형결합은 $C(A)$를 이룹니다.

부분 공간의 조건

위 예에서 행렬 A의 열들은 성분이 세 개입니다. 
이것은 그 열들이 $R^{3}$에 속함을 의미합니다. (3.1a 벡터 공간 (Vector space) 참고)

사실, $C(A)$는 $R^{3}$공간에 속하는 평면으로 그릴 수 있습니다.
그리고 다음과 같이 부분 공간의 두 조건을 만족합니다.

i) $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$은 $C(A)$에 속한다.

ii) $c$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$와 $d$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$ 역시 $C(A)$에 속한다.

따라서 예시의 $C(A)$는 $R^{3}$의 부분 공간입니다.

사실, 열들의 모든 선형결합은 그 열들의 덧셈과 스칼라곱들을 포함하기 때문에 일반적으로 부분 공간의 조건을 만족합니다.

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스팬(span)

다음은 ‘스팬’이라는 용어에 대해 알아보겠습니다. 
이 단어는 앞으로 공간을 공부할 때 많이 보게될 것입니다.

먼저, 어떤 벡터 공간 $V$에 속하는 벡터들의 집합 $S$가 있다고 가정합니다.
($S$는 부분 공간이 아닐 수도 있습니다)
위에 열 공간의 예에서와 같이 S의 벡터들의 모든 선형 결합은 부분 공간을 만들 수 있습니다. 

 

이 부분 공간을 $SS$라고 하면,
V의 부분 공간 $SS$는 $S$에 의해 생성(스팬)됐다고 합니다.

다시, 위의 예시의 두 벡터 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array} \end{pmatrix}$와 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$가 있다고 하겠습니다.

 

그러면, $C(A)$는 이 두 벡터에 의해 스팬됩니다.