3.1a 벡터 공간 (Vector space)

선형대수학에서 벡터 공간은 벡터라고 부르는 것의 집합이며, 벡터 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있습니다. 여기서 벡터는 보통 생각하는 기하학적 벡터 말고도 행렬이나 함수도 될 수 있습니다. 오늘은 벡터 공간을 판단하는 8가지 규칙을 알아보겠습니다. 

앞서 1장과 2장에서는 고등학교에서 배웠던 연립방정식과 행렬에 대한 내용을 심화학습하였습니다. 그래서 앞부분은 비교적 어렵지 않지만, 벡터 공간부터는 생소하고 추상적인 개념들이 있어 쉽지 않게 느껴집니다.

 

벡터 공간을 배우는 이유

벡터 공간이 어렵게 느껴지는 분들은 그것을 배우는 이유를 생각해보면 좀 도움이 될 수 있습니다. 벡터 공간을 배우는 중요한 이유 중 하나는 연립방정식의 해를 이해하고 표현하는 것입니다. 고등학교에서 배운 것은 미지수와 방정식의 수가 같은, 해가 하나만 존재하는 문제가 대부분이었습니다. 하지만 앞으로는 해가 무수히 많은 문제들을 많이 보게 될 것입니다. 그리고 그 해 들은 벡터 공간으로 이해할 수 있습니다. 

 

사실 3장의 상당 부분은 방정식의 해에 관한 것입니다. 이 점을 잘 기억하시고, 뒤에서 배우는 내용들을 행렬 방정식, 연립 방정식과 연결지어서 생각하면 이해하기 어렵지 않을 것입니다. 또한, 1, 2장에서 배운 행렬을 벡터의 선형 결합으로 표현하는 방법을 기억하면 도움이 됩니다. 

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$R^{n}$ 공간

$R^{n}$ 공간의 정의는 다음과 같습니다:
$R^{n}$ 공간은 $n$개의 성분을 갖는 모든 열벡터(column vector)로 이루어진다.
벡터의 성분들은 실수(real number)입니다.

 

예를 들면, $R^{2}$는 두 개의 성분으로 이루어진 모든 열벡터의 집합입니다.
두 개의 성분을 미지의 $x$, $y$로 표현하면,

$R^{2}$는 모든 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{pmatrix}$를 포함합니다.

이 벡터 공간은 2차원 $xy$ 평면으로 그릴 수 있습니다.
$R^{n}$은 $n$-차원 공간에 대응하여 생각할 수 있습니다.

 

$R^{n}$의 모든 벡터들은 $n$개의 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현할 수 있습니다.
(이와 관련해서 벡터의 독립에 대해 나중에 배우게 됩니다.)

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벡터 공간의 8가지 규칙

 

다음은 어떤 벡터의 집합이 벡터 공간이 되기 위한 8가지 조건입니다.
여기서 벡터는 기하학적 벡터이외에 행렬이나 함수 같은 것도 될 수 있습니다.

 

아래 조건에서, $x$, $y$, $z$는 벡터를, $c$는 스칼라를 의미합니다.
1) $x + y = y + x$

 

2) $x + (y + z) = (x + y) + z$

 

3) 모든 벡터 $x$에 대해 $x + 0 = x$가 되도록 하는 유일한 영벡터가 존재한다.

 

4) 각 $x$에 대해 $x + (–x) = 0$가 되는 유일한 –$x$가 존재한다.

 

5) 1 곱하기 $x$는 $x$와 같다.

 

6) $(c_{1}c_{2})x$ = $c_{1}(c_{2}x)$

 

7) $c(x + y) = cx + cy$

 

8) $(c_{1} + c_{2})x = c_{1}x + c_{2}x$.   

위에서 본 $R^{n}$은 위 8가지 조건을 만족한다는 것은 쉽게 알 수 있을 것입니다.

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영벡터 공간(Zero vector space)

다른 예로 영벡터 공간(Zero vector space)이 위 조건들을 만족하는지 보겠습니다.
영벡터 공간은 0, 즉 영벡터 하나로만 이루어진 공간입니다.

1) $0 + 0 = 0 + 0$, 

 

2) $0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0$, 

 

3) $x + 0 = x$, 이 집합의 모든 $x$는 0 벡터입니다.
따라서 언제나 참입니다.

 

4) $0 + (–0) = 0$, 역시 참입니다.

 

5) $1·0 = 0$, 참입니다.

 

6) $(c_{1}c_{2})·0 = c_{1}(c_{2}·0) → 0 = 0$

 

7) $c(0 + 0) = c·0 + c·0 → 0 = 0$

 

8) $(c_{1} + c_{2})·0 = c_{1}·0 + c_{2}·0 → 0 = 0.$

6) ~ 8) 역시 모두 참입니다.

따라서 영벡터 공간은 벡터 공간입니다.