3.2b Special Solution: Ax = 0, Rx = 0

행렬 방정식 $Ax$ = 0의 모든 해는 special solution으로 스팬(생성)됩니다. 즉, $A$의 영공간은 special solution의 모든 선형 결합으로 이뤄집니다. 이번 포스팅에서는 special solution을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

Special solution

 Special solution은 ‘특수해’ 또는 ‘특별해’로 해석되지만, 뒤에서 배울 particular solution도 마찬가지로 해석되므로, 구분하기 위해 그냥 영어로 쓰겠습니다.

사실, special solution은 방정시 $Ax$ = 0의 해 들 중 하나입니다. 
예를 들어, special solution $x_{s1}$, $x_{s2}$를 얻었다고 하면, 
$Ax$ = 0의 해는 $x_{s1}$, $x_{s2}$의 모든 선형 결합이 됩니다.
$Ax_{s1}$ = 0, $Ax_{s2}$ = 0으로부터 $A(ax_{s1} + bx_{s2})$ = 0을 유도하는 것은 어렵지 않습니다.)

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피벗 변수, 자유 변수

그러면, special solution을 구하는 법을 알아봐야하는데,
그전에 피벗 변수(pivot variable)와 자유 변수(free variable)를 알아야 합니다.

먼저 전 시간에 배운 행 (간소) 사다리꼴을 기억해야 합니다.

예를 들어, 주어진 행렬 $A$를 소거하여 다음 행 간소 사다리꼴 행렬 R을 만들었다고 가정합니다.

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrrr} 1 & ? & 0 & 0 & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ? \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ? \end{array} \end{pmatrix}$ 
 
그러면, 피벗이 있는 ($A$와 $R$의) 1열, 3열, 4열은 피벗 열이고,
피벗이 없는 ($A$와 $R$의) 2열, 5열은 자유 열입니다.

피벗 변수는 피벗 열에 대응되는 $x$의 1번, 3번, 4번 성분이 됩니다.
마찬가지로, 자유 변수는 $x$의 2번, 5번 성분입니다.

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Special solution 구하기

이제 $Ax$ = 0 또는 $Rx$ = 0의 special solution을 구하는 법을 알아보겠습니다.
사실 구하는 방법은 매우 간단합니다. 
자유 변수를 1또는 0으로 하고 방정식을 풀면 됩니다.

다음 예를 가지고 설명해 보겠습니다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 3 & 8 & 6 & 16 \end{array} \end{pmatrix}$ 

1행에 3을 곱해 2행에서 빼면,

$U$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \end{array} \end{pmatrix}$를

얻습니다.
1열, 2열은 피벗 열, 3열, 4열은 자유 열임을 알 수 있습니다.

마찬가지로 $x$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \end{pmatrix}$의

$x_{1}$, $x_{2}$는 피벗 변수,
$x_{3}$, $x_{4}$는 자유 변수입니다.

앞서 말한대로, 자유 변수를 1또는 0으로 하면,

$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ 1 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$와 같이

두 경우의 special solution이 있습니다.
이것들을 다시 $Ax$ =0 또는 $Ux$ = 0에 대입해서 피벗 변수를 구하면 됩니다.

첫 번째 경우는,
$x_{1}$ + 2$x_{2}$ + 2 = 0; 3$x_{1}$ + 8$x_{2}$ + 6 = 0
이를 풀면, $x_{1}$ = –2; $x_{2}$ = 0.

두 번째 경우는,
$x_{1}$ + 2$x_{2}$ + 4 = 0; 3$x_{1}$ + 8$x_{2}$ + 16 = 0
이를 풀면, $x_{1}$ = 0; $x_{2}$ = –2.

즉, special solution은

$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

$Ax$ = 0의 해는 다음과 같이 두 벡터의 모든 선형 결합입니다.

$x_{3}$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$ + $x_{4}$ $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

(1로 셋팅한 자유 변수를 계수로 하였습니다)