3.1c 부분 공간(subspace)

부분 공간(subspace)은 다른 벡터 공간에 포함되는 벡터 공간을 의미합니다. 다시 말하면, 모든 부분 공간은 벡터 공간이면서도, 어떤 벡터 공간의 전체 또는 한 부분이 되는 집합입니다. 예를 들면, 영 벡터 공간은 항상 부분 공간이 됩니다.

 

부분 공간의 정의

  
먼저, 부분 공간의 정의로 시작해 보겠습니다.
정의: 벡터 공간의 부분 공간은 다음 두 조건을 만족하는 (영 벡터를 포함하는) 벡터들의 집합이다: 
$v$와 $w$는 그 집합에 포함되고, $c$는 임의의 스칼라라고 하면,
1) $v$ + $w$는 그 집합에 속한다,  2) $cv$는 그 집합에 속한다.

예를 들어, $R^{3}$에 포함되고 원점을 지나는 평면이 있다고 합시다. 평면에 있는 두 벡터의 합은 여전히 평면에 있습니다. 평면에 속하는 벡터와 임의의 스칼라의 곱  역시 평면에 포함됩니다. 따라서 이 평면은 $R^{3}$의 부분 공간입니다.

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영 벡터 공간은 항상 부분 공간

모든 부분 공간에는 0 벡터가 포함되어 있습니다.
부분 공간도 벡터 공간의 조건을 만족하기 때문입니다.

다르게 말하면, 영 벡터 공간은 항상 부분 공간이고, 
원점을 포함하지 않는 평면은 부분 공간이 아닙니다.

마찬가지로 원점을 통과하는 선도 부분 공간입니다.
원점을 통과하지 않는 선은 부분 공간이 아닙니다.

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$R^{3}$의 부분 공간

다음은 $R^{3}$의 가능한 모든 부분 공간입니다.
1) $R^{3}$ 자신
2) (영 벡터 하나로만 이루어진) 영 벡터 공간, 즉 원점
3) 원점을 지나는 직선
4) 원점을 지나는 평면

부분 공간은 그 자체로 벡터 공간이 돼야 합니다. 

그리고 원래 벡터 공간의 전체 또는 한 부분이 되는 집합이기 때문에 $R^{3}$ 자체로 자기 자신의 부분 공간입니다.
원래의 벡터 공간보다 작은 벡터의 집합은 벡터 공간이 되는지 확인해야 하는데, 

앞서 본 정의에서 두 조건을 만족하며 벡터 공간이 됩니다.

영 벡터 0만 있는 집합은 
0 + 0 = 0, 임의의 $c$에 대해 항상 $c$·0 = 0이므로 두 조건을 만족합니다.
즉, 원점은 $R^{3}$의 부분 공간입니다.

또한 직선과 평면이 원점을 지난다면 두 조건을 만족한다는 것을 보일 수 있을 것입니다.

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2 × 2 행렬의 부분 공간

2 × 2 행렬의 벡터 공간 $M$은 다음 두 개의 중요 부분 공간을 포함합니다.

 

1) 모든 상부 삼각 행렬 ($U$)

2) 모든 대각 행렬 ($D$)

위 두 경우에서 0을 성분으로 하는 행렬의 위치는 
각각 해당 집합에 속하는 행렬들로 더하거나 스칼라를 곱해줘도 그대로 0입니다.
따라서 부분 공간의 두 조건을 만족합니다.
두 부분 공간은 각각 $U$와 $D$로 씁니다.