5.3b Cramer 공식을 이용해 역행렬 공식 구하기

전에 배운 Cramer 공식을 이용하면 주어진 행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$을 구할 수 있습니다. Crmaer 공식을 이용하기 위해 $AA^{-1}$ = $I$에서 $A^{-1}$의 열들을 분리하여 $Ax$ = $b$ 형태로 만들고, $A^{-1}$의 성분들을 각각 구하게 됩니다.

역행렬 공식 유도하기

우리가 익숙한 2 × 2 행렬의 역행렬 공식을 유도해 보겠습니다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{pmatrix}$의 역행렬을

$A^{-1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{array} \end{pmatrix}$라고 하겠습니다.

그러면 $AA^{-1}$ = $I$에서, $A^{-1}$의 열들을 분리하여 다음과 같이 $Ax$ = $b$ 형태로 만들겠습니다. 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$. 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

그러면 Cramer 공식에 의해

$x_{1}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 1 & b \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$/det $A$ = $d$/det $A$,

$x_{2}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 1 \\ c & 0 \end{array} \end{vmatrix}$/det $A$ = $-c$/det $A$,

$y_{1}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 0 & b \\ 1 & d \end{array} \end{vmatrix}$/det $A$ = $-b$/det $A$,

$y_{2}$ = $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ c & 1 \end{array} \end{vmatrix}$/det $A$ = $a$/det $A$.

여기서 det $A$ = $ad\:-\:bc$이므로,
정리하면,

$A^{-1}$ = $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \end{pmatrix}$.

사실 위 예에서 det $B_{1}$과 det $B_{2}$를 잘 보면 중요한 패턴이 있다는 것을 알 수 있습니다. 

$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} 1 & b \\ 0 & d \end{array} \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a & 0 \\ c & 1 \end{array} \end{vmatrix}$등에서 

볼 수 있듯 각 행렬식은 ‘1’이 있는 행과 열을 제외한 성분만 행렬식에 기여하게 됩니다. 

다음 3 × 3 경우의 그림을 보면 이해에 도움이 될 것입니다.

이 행렬식은 $A^{-1}$의 1번 열, 2번 행의 성분, 즉, ($A^{-1}$)$_{21}$에 대응되는 값입니다.

 

Big formula에 의한 행렬식 계산에서는 각 행과 열에서 하나의 성분만 선택하여 계산을 하는데, 위 그림에서 빨간 네모 안에서는 ‘1’을 선택하지 않으면 0을 곱해야하는 상황이 됩니다. 즉, ‘1’이 포함된 항만 남게 됩니다.

 

그래서 그림의 행렬식은

–$\begin{vmatrix} \begin{array}{rr} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \end{vmatrix}$입니다.

그리고 이 행렬식은 $A$의 여인수 $C_{12}$입니다.
앞서 이 행렬식은 ($A^{-1}$)$_{21}$에 대응한다고 설명했습니다.

이 내용을 정리하면, 다음과 같은 일반적인 역행렬의 공식을 만들 수 있습니다.

 

($A^{-1}$)$_{ij}$ = $\frac{C_{ji}}{det A}$ 
여기서 좌변과 우변의 $i$, $j$의 순서가 바뀐 점을 주의해야 합니다.

 

여인수로 이뤄진 행렬을 $C$라고 하면,
$A^{-1}$ = $\frac{C^{T}}{det A}$.

4 × 4 역행렬 예제

다음 $A$의 역행렬 $A^{-1}$을 구하라.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$

위에서 배운 역행렬의 공식
$A^{-1}$ = $\frac{C^{T}}{det ⁡A}$ 을 이용하겠습니다.

 

먼저 $A$가 삼각행렬이므로 det $A$는 대각 성분들의 곱 1×1×1×1 = 1입니다.
따라서 $A^{-1}$ = $C^{T}$입니다.
여인수 행렬 $C$를 구하면,

$C$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$

그리고 $C$를 전치하여

$C^{T}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$ = $A^{-1}$.