2.7c 전치와 치환행렬

전치(transpose)는 치환행렬에서 특별한 역할을 합니다. 치환행렬의 역행렬은 전치행렬과 같습니다. 그리고 치환을 한 번만 하는 기본적인 치환행렬들은 대칭행렬이 됩니다. 이번 포스팅에서는 전치와 치환행렬과의 관계를 알아보겠습니다.

 

먼저, 전에 배웠던 치환행렬을 복습해보겠습니다. 
치환행렬은 행들의 위치를 바꿔주는 행렬입니다.

 

보통 $P$라고 쓰고, 
단위행렬 $I$에서 행들을 교환한 것과 같습니다.

 

예를 들면, 

$P_{23}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$ 는 

2번과 3번 행을 바꿔줍니다.

그리고 $P_{23}^{-1}$ = $P_{23}$입니다.
왜냐하면 $P_{23}P_{23}$ = $I$이기 때문입니다.

(행 교환을 두 번하면 원래로 돌아갑니다.)

치환행렬에 대해 더 자세한 내용은 (2.3 치환행렬)를 보시기 바랍니다.

그리고 치환행렬의 역행렬은 역시 치환행렬입니다.
어떤 행렬의 역행렬은 원래 행렬이 한 연산을 되돌려 놓는 것과 같습니다.
따라서 $P^{-1}$은 행 교환을 하는 행렬이어야 합니다. (즉, 치환행렬)

그리고 더 중요한 사실은 $P^{-1}$이 항상 $P^{T}$와 동일하다는 것입니다.
다시 $P_{23}$의 예를 보면, 
2번과 3번 행을 치환하는 것은 동시에 2번과 3번 열을 치환하는 것과 같습니다.

 

이것이 의미하는 것은
$P_{23}^{-1}$ = $P_{23}$ = $P_{23}^{T}$입니다.
즉, $P_{23}$은 대칭행렬입니다.

*여기서 주의할 점은 모든 치환행렬이 대칭행렬은 아니라는 것입니다.

예를 들면, 

$P_{23}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$도 치환행렬인데,

대칭행렬은 아닙니다.
사실 이 행렬은 치환을 두 번 해줍니다:
1번 2번 행을 교환하고,
2번 3번 행을 교환합니다.
역행렬은 교환의 순서가 역으로 되기 때문에,
원래 행렬과 같지 않습니다.
이것은 치환을 한 번 하는 $P_{23}$의 경우와는 다릅니다.