2.7a 전치행렬(transpose matrix) & 전치 연산의 규칙

전치(transpose) 연산은 행렬의 행을 열로 (또는 열을 행으로) 바꿔준다.

이는 행렬을 대각선을 기준으로 뒤집는 것과 같다. 행렬 $A$의 전치행렬은 보통 $A^{T}$로 표시한다.

($A$ + $B$)$^{T}$ = $A^{T}$ + $B^{T}$; $(AB)^{T}$ = $B^{T}A^{T}$; $(A^{-1})^{T}$ = $(A^{T})^{-1}$의 중요 규칙들이 있다.

 

행렬의 전치: 전치행렬

다음과 같은 행렬 $A$가 있다고 가정하자.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$

$A$는 2 × 3 행렬이다. 

 

즉, 2개의 행과 3개의 열이 있다.
전치 연산은 아래와 같이 행을 열로 (또는 열을 행으로) 바꿔준다.

$A^{T}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$

이처럼 $A$를 전치한 것을 $A$의 전치행렬이라 한다.

그리고 일반적으로 $A^{T}$로 쓴다.

위 예의 $A^{T}$는 3 × 2 행렬이다.

일반적으로 $A$가 $m$ × $n$ 행렬이면, $A^{T}$는 $n$ × $m$이 된다.

 

행렬의 $i$행 $j$열 성분을 $A_{ij}$라고 하면, $(A^{T})_{ij}$ = $A_{ji}$이다.

특별한 예로 하부삼각행렬의 전치는 상부삼각행렬이고,
상부삼각행렬의 전치는 하부삼각행렬이다.

 

그리고 $A^{T}$를 전치하면 원래의 $A$가 된다.

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전치 연산의 규칙

다음은 전치의 중요한 세 가지 규칙이다.

 

1) $A + B$의 전치는 $A^{T} + B^{T}$이다.  

–합의 규칙

 

2) $AB$의 전치는 $B^{T}A^{T}$이다.  

–곱의 규칙

 

3) $A^{-1}$의 전치는 $(A^{T})^{-1}$이다. 

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첫 번째 규칙은 $A$ + $B$의 임의의 성분이 전치되는 것을 보면 이해할 수 있다.
$A$ + $B$의 임의의 $i$행 $j$열 성분은 다음과 같다.

 

($A$ + $B$)$_{ij}$ = $A_{ij}$ + $B_{ij}$.
즉, $A$와 $B$의 동일한 위치의 성분들의 합이다.

$A$ + $B$의 전치행렬의 대응되는 성분은 

 

$((A + B)^{T})_{ij}$ = $(A + B)_{ji}$이다.

 

그리고 $(A + B)_{ji}$ = $A_{ji} + B_{ji}$.

이는 다시, $A_{ji} + B_{ji}$ = $(A^{T})_{ij} + (B^{T})_{ij}$.

 

따라서, $(A + B)^{T}$ = $A^{T} + B^{T}$.
첫 번째 규칙을 확인했다.

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두 번째 규칙은 $A$는 $m$ × $n$, $B$는 $n$ × 1인 경우부터 보자.

그러면,

$AB$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{crc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \end{pmatrix}$

= $b_{1}\begin{pmatrix} \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \end{pmatrix} +  {\cdots}  + b_{n}\begin{pmatrix} \begin{array}{c} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \end{pmatrix}$.

즉, $A$의 열들의 선형 결합이다.

그리고, $B^{T}A^{T}$는

 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc} b_{1} & \cdots & b_{n} \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{crc} a_{11} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{mn} \end{array} \end{pmatrix}$

= $b_{1}(a_{11} {\cdots} a_{m1}) + {\cdots} + b_{n}(a_{1n} {\cdots} a_{mn})$.

이것은 $A^{T}$의 행들의 선형 결합이다.

위 결과를 이용하면,

$(AB)^{T}$ =

 

$b_{1}\begin{pmatrix} \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \end{pmatrix}^{T} +  {\cdots}  + b_{n}\begin{pmatrix} \begin{array}{c} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \end{pmatrix}^{T}$.

이것은 $B^{T}A^{T}$와 같다.

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이제 두 개 이상의 열을 가진 $B$의 경우를 보자.

$B$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc} \textbf{b}_{1} & \textbf{b}_{2} & \cdots \end{array} \end{pmatrix}$

 

($\textbf{b}_{1}$, $\textbf{b}_{2}$, …는 $B$의 열이다.)

그러면, $AB$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc} A\textbf{b}_{1} & A\textbf{b}_{2} & \cdots \end{array} \end{pmatrix}$.

 

(행렬을 곱하는 법을 확인해 보자)

 
$AB$의 전치행렬은, 

$(AB)^{T}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{c} (A\textbf{b}_{1})^{T} \\ (A\textbf{b}_{2})^{T} \\ \vdots \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{c} \textbf{b}_{1}^{T}A^{T} \\ \textbf{b}_{2}^{T}A^{T} \\ \vdots \end{array} \end{pmatrix}$.

여기서, $b_{i}^{T}$는 $B^{T}$의 $i$번째 행이다.

행렬을 곱하는 세번째 방법을 보면,

 

$\textbf{b}_{1}^{T}A^{T}$는 $B^{T}A^{T}$의 $i$번째 행임을 알 수 있다.
따라서, $(AB)^{T}$ = $B^{T}A^{T}$이다. 

세 개 이상의 행렬의 곱을 전치하면,
다음과 같이 순서를 역으로 해준다.
$(ABC)^{T}$ = $C^{T}B^{T}A^{T}$.

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그리고 역행렬 $A^{-1}$의 전치는 $A^{T}$의 역행렬이다.

$A^{-1}A$ = $I$ 이므로 $(A^{-1}A)^{T}$ = $I^{T}$.

단위행렬 $I$의 전치는 그대로 $I$이다.
즉, $(A^{-1}A)^{T}$ = $I$.

이것은 다시 $A^{T}(A^{-1})^{T}$ = $I$이다.

따라서 $(A^{-1})^{T}$는 $A^{T}$의 역행렬이다.

즉, $(A^{-1})^{T}$ = $(A^{T})^{-1}$. – 오른쪽 역행렬
(한쪽 역행렬임을 보이면 충분하다.

2.5 역행렬 (inverse matrix))