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선형대수88

2.5c 가우스 조던(Gauss-Jordan) 소거법 가우스 조던 소거법은 목표가 되는 행렬 $A$와 단위행렬 $I$로 첨가행렬[$A$ $I$]을 만든 후, 소거법을 진행하여 $A$의 역행렬을 구하는 방법입니다. 소거 과정은 첨가행렬의 왼쪽 부분이 단위행렬이 되도록 합니다. 즉, [$I$ $K$]을 만들어요. 그러면 $K$는 $A$의 역행렬입니다. 가우스 조던 소거법의 원리 주어진 행렬 $A$의 역행렬을 구하기 위해 가우스-조던 소거법을 이용할 수 있습니다. $A$를 단위행렬 $I$와 합쳐 첨가행렬[$A$ $I$]을 만들고, 소거법을 진행하여 첨가행렬을 [$I$ $K$]로 만들면 $K$는 $A$의 역행렬입니다. 이유는 다음과 같습니다: $A$를 $I$로 만들기 위해 해주어야 하는 연산들의 행렬들을 $X_{1},{\cdots}, X_{n}$이라고 하겠습니다... 2022. 1. 28.
2.5b 소거행렬의 역행렬-LU분해 소거행렬(elimination matrix)은 주어진 행렬의 목표가 되는 위치의 성분을 0으로 만들어 줍니다. 이에 반해 소거행렬의 역행렬은 0으로 만들어진 그 성분을 다시 원래로 돌려 놓는 연산을 해줍니다. 이 역행렬은 뒤에서 배울 $LU$ factorization과 연관되니 기억하시는 것이 좋습니다. 소거행렬의 역행렬 이전 시간에 우리는 $A$의 역행렬($A^{-1}$)은 $A^{-1}A$ = $I$와 $AA^{-1}$ = $I$을 만족하고, 따라서 $A$가 행한 연산이 $A^{-1}$에 의해 취소된다고 배웠습니다. 이는 단위행렬이 아무런 변화를 만들어 내지 않기 때문입니다. 이 내용을 소거행렬에 적용해 보면, 소거행렬의 역행렬은 소거행렬이 제거한, 즉, 0으로 만든, 성분을 원래로 돌려 놓는 행렬이.. 2022. 1. 24.
2.5 역행렬 (inverse matrix) 역행렬은 원래 행렬에 곱해졌을 때 단위행렬을 만들어 주는 행렬입니다. 주어진 행렬에 대해 역행렬은 단 하나만 존재합니다. 그리고 역행렬은 원래 행렬이 행한 연산을 되돌립니다. 예를 들면, 소거행렬의 역행렬은 소거 이전의 행렬로 돌려놓는 행렬입니다. 역행렬의 특징들을 알아보겠습니다. 역행렬, 가역행렬, 역행렬의 특징 정방 행렬 $A$가 역행렬($A^{-1}$)을 가지면 가역적(invertible)이라고 합니다. 그리고 $A$를 가역행렬이라고 합니다. 역행렬은 $A^{-1}A$ = $I$ 그리고 $AA^{-1}$ = $I$을 만족하는 행렬입니다. 이는 $A$가 어떤 연산을 하든 역행렬 $A^{-1}$에 의해 취소됨을 의미합니다. 따라서 $A$와 $A^{-1}$의 곱은 벡터에 아무런 변화를 만들어 내지 않습니.. 2022. 1. 21.
2.4 행렬 연산의 규칙 (2) - 블록행렬(block matrix) 이번에는 행렬 곱의 규칙을 좀 더 알아본다. 또한 블록행렬(block matrix)에 대해서도 이야기해보겠습니다. 행렬을 블록으로 나누어 연산을 수행하면 사이즈가 큰 행렬의 연산이 용이해질 수 있습니다. 행렬의 거듭제곱 ​ 행렬 곱의 결합 법칙 $A(BC) = (AB)C$에서 $A = B = C$ 인 정방행렬(square matrix)의 특별한 경우를 가정하겠습니다. 그러면 $ABC = AAA = (AA)A = A(AA) = A^{2}A = AA^{2} = A^{3}$. 이런 방식으로, 행렬의 거듭제곱을 계산할 수 있습니다. $A^{p} = AAA…A$ ($p$ factors) $(A^{p})(A^{q})$ = $A^{p+q}$ $(A^{p})^{q}$ = $A^{pq}$ 지수가 –1 이면, A의 역행렬.. 2022. 1. 20.
2.4 행렬 연산의 규칙 (1) 행렬 방정식은 선형 대수학의 핵심이라고 할 수 있습니다. 행렬 방정식을 잘 다루기 위해서는 행렬 연산의 규칙을 알아야 합니다. 행렬의 교환 법칙(commutative law), 분배 법칙(distributive law), 결합 법칙(associative law) 등을 알아보겠습니다. 행렬의 곱 다음과 같은 행렬의 곱을 생각해보겠습니다. $A_{m{\times}n}B_{n{\times}p}$ = $C_{m{\times}p}$. 여기서 $m{\times}n$은 행렬이 $m$개의 행, $n$개의 열로 이루어졌다는 의미입니다. 주의해서 볼 점은 $A$의 열 개수와 $B$의 행 개수는 같다는 것입니다. 그리고 곱셈의 결과 $m{\times}p$ 행렬 $C$가 만들어집니다. 다음 식을 보면, 행과 열의 개수의 관계.. 2022. 1. 17.
2.3 치환행렬(Permutation matrix) & 첨가행렬(Augmented matrix) 치환행렬(Permutation matrix)은 행렬의 행의 순서를 바꾸는 행렬입니다. 소거법의 일시적 실패 시 행들의 순서를 치환하여 소거를 진행할 수 있습니다. 또한, 소거 과정의 편의를 위해 $Ax = b$에서 $A$와 $b$를 합한 첨가행렬(Augmented matrix)을 이용합니다. 치환행렬(Permutation matrix) 보통 $i$ 번째 행과 $j$ 번째 행을 치환하는 치환행렬은 $P_{ij}$으로 씁니다. 예를 들어, $P_{23}$은 행렬의 2번 행과 3번 행을 치환합니다. 치환행렬 역시 단위행렬에서 시작하고, 바꾸려는 행들을 치환합니다. 예를 들면, $P_{23}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 .. 2022. 1. 17.
2.3 행렬에 소거법 적용하기 1차 연립 방정식은 행렬 방정식으로 쓸 수 있습니다. 소거법으로 연립 방정식의 미지수들을 제거하여 상부 삼각형 형태를 만든 것처럼, 소거법으로 상부 삼각형 행렬(upper triangular matrix)을 만들면 문제를 쉽게 풀 수 있습니다. 이와 관련해 소거행렬 알아보겠습니다. 행렬 방정식 $Ax = b$. $\begin{matrix} \begin{array}{rrrrrrrr} 2x_{1} & + & 4x_{2} & - & 2x_{3} & = & 2 & (eq. 1) \\ 4x_{1} & + & 9x_{2} & - & 3x_{3}& = & 8 & (eq. 2) \\ -2x_{1} & - & 3x_{2} & + & 7x_{3} & = & 10 & (eq. 3) \end{array} \end{matrix.. 2022. 1. 16.
2.2 소거법 (Elimination) (2) 이번 포스팅에서는 방정식이 세 개, 미지수도 세 개인 연립 방정식 문제를 소거법으로 풀어 보겠습니다. 소거법으로 방정식들의 미지수를 차례로 제거하여 상부 삼각형 시스템을 만드는 것이 목적입니다. 그러면 피벗과 방정식의 해를 쉽게 구할 수 있습니다. 소거법 - 세 개의 방정식, 세 개의 미지수 이제 방정식이 세 개, 미지수도 세 개인 예를 살펴보겠습니다. $\begin{matrix} \begin{array}{rrrrrrrr} 2x & + & 4y & - & 2z & = & 2 & (eq. 1) \\ 4x & + & 9y & - & 3z& = & 8 & (eq. 2) \\ -2x & - & 3y & + & 7z & = & 10 & (eq. 3) \end{array} \end{matrix}$ (나중에 설명하겠.. 2022. 1. 15.
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