2.5c 가우스 조던(Gauss-Jordan) 소거법

가우스 조던 소거법은 목표가 되는 행렬 $A$와 단위행렬 $I$로 첨가행렬[$A$ $I$]을 만든 후, 소거법을 진행하여 $A$의 역행렬을 구하는 방법입니다. 소거 과정은 첨가행렬의 왼쪽 부분이 단위행렬이 되도록 합니다.

즉, [$I$ $K$]을 만들어요. 그러면 $K$는 $A$의 역행렬입니다. 

 

가우스 조던 소거법의 원리

주어진 행렬 $A$의 역행렬을 구하기 위해 가우스-조던 소거법을 이용할 수 있습니다.

$A$를 단위행렬 $I$와 합쳐 첨가행렬[$A$ $I$]을 만들고,

소거법을 진행하여 첨가행렬을 [$I$ $K$]로 만들면 $K$는 $A$의 역행렬입니다.

이유는 다음과 같습니다:
$A$를 $I$로 만들기 위해 해주어야 하는 연산들의 행렬들을 $X_{1},{\cdots}, X_{n}$이라고 하겠습니다. 

 

첨가행렬에 이 행렬들을 곱해주면, [$X_{n}{\cdots}X_{1}A$  $X_{n}{\cdots}X_{1}I$] = [$I$ $K$]가 됩니다.

 
여기서 ($X_{n}{\cdots}X_{1}$)$A$ = $I$ 이므로 $X_{n}{\cdots}X_{1}$는 $A$의 역행렬이고, 

$K$ = $X_{n}{\cdots}X_{1}I$이므로 $K$도 $A$의 역행렬이 됩니다. 

이것은 $K$가 $A$의 좌측 역행렬임을 보인 것입니다. 

좌측이든 우측이든 한쪽 역행렬임을 보이면 충분합니다 (2.5절 역행렬의 특징 노트2)

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가우스 조던 소거법을 이용한 역행렬 구하기

그러면 예제를 가지고 가우스-조던 소거법을 해보겠습니다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \end{pmatrix}$ 이 있습니다. $A^{-1}$ 을 구하겠습니다.

1) 먼저 다음과 같이 $A$와 $I$를 합하여 첨가행렬을 만듭니다.

 

$\begin{pmatrix} \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{matrix} \end{pmatrix}$

이제부터 왼쪽의 $A$부분을 $I$로 만들겠습니다. 
이때 $A$에 해주는 연산을 $I$ 쪽에도 똑같이 해줍니다.

 

2) $\frac{1}{2}$(1번 행) + (2번 행):

 

$\begin{pmatrix} \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{matrix} \end{pmatrix}$

3) $\frac{2}{3}$(2번 행) + (3번 행):

 

$\begin{pmatrix} \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \end{matrix} \end{pmatrix}$

$A$ 부분이 상부 삼각형이 됐지만 계속 피벗 위의 성분들도 0으로 만듭니다.

4) $\frac{3}{4}$(3번 행) + (2번 행):

 

$\begin{pmatrix} \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \end{matrix} \end{pmatrix}$

5) $\frac{2}{3}$(2번 행) + (1번 행):

 

$\begin{pmatrix} \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{rrr} \frac{3}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \end{matrix} \end{pmatrix}$

$A$ 부분은 대각행렬이 됐습니다. 

 

6) 이제 각 행을 피벗으로 나눠 대각 성분들을 1을 만듭니다.

 

$\begin{pmatrix} \begin{matrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{rrr} \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \end{matrix} \end{pmatrix}$
 
따라서 $A$의 역행렬은 $A^{-1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \end{pmatrix}$

$A$에 곱해 역행렬인지 확인해보겠습니다.

 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \end{pmatrix}$  = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

 

역행렬임을 확인했습니다.