3.3a 완전해(Complete Solution): Ax = b

이번 포스팅은 $Ax$ = $b$의 완전해를 구하는 방법을 알아보겠습니다. $Ax$ = $b$의 특정한 해 $x_{p}$를 구하면, 여기에 $Ax$ = 0의 해 $x_{n}$를 더해도 여전히 $Ax$ = $b$의 해가 됩니다. 따라서, 완전해는 $x_{p}$ + $x_{n}$ 의 형식입니다.

행렬 방정식 $Ax$ = $b$ ($b$ ≠ 0)

행렬 방정식 $Ax$ = $b$ 문제는 $Ax$ = 0을 푸는 방법과 크게 다르지 않습니다.
우선, $A$를 행 간소 사다리꼴 $R$로 만드는 과정을 진행합니다.

다만, $b$에도 $A$에 한 연산을 똑같이 해줘야 합니다. 
$Ax$ = 0에서는 우변이 0이기 때문에 우변은 신경을 쓰지 않았습니다. 
하지만 $Ax$ = $b$에서는 소거 과정이 우변의 $b$를 변화시키기 때문에 우변을 계속 계산해줘야 합니다. 

이점을 주의해야합니다.
그리고 또 하나 주의할 점은 $Ax$ = $b$의 해를 $x_{p}$라고 하면 

스칼라를 곱한 $ax_{p}$는 방정식의 해가 아니라는 것입니다. 

다음 좌표계 그림을 보면 이해하기 쉽습니다.

 
만약 $Ax$ = 0의 해가 (즉, 영공간이) 직선이나 평면이라면,
$Ax$ = $b$의 해들도 직선이나 평면일 것입니다.

 

다른 점은 영공간은 원점을 지나고 $Ax$ = $b$의 해는 원점을 지나지 않습니다.

 

위 그래프에서 $x_{s}$는 $Ax$ = 0은 만족하는 special solution, 

$x_{p}$는 $Ax$ = $b$를 만족하는 해라고 하면, $x_{p}$ + $ax_{s}$ 는 $Ax$ = $b$의 해입니다.
$x_{p}$를 particular solution이라고 하고,
$x_{p}$ + $ax_{s}$ 를 완전해(complete solution)이라고 합니다.

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$Ax$ = $b$의 첨가행렬 [$A$ $b$] 만들기

앞서 봤듯이 완전해는 particular solution과 special solution을 구하면 알 수 있습니다.
Special solution은 전 포스팅에서 구하는 방법을 다뤘습니다.
(참조:3.2b Special Solution: Ax = 0, Rx = 0)

이제 particular solution을 구하면 되는데요.
Particular solution은 구하는 방법이 약간 다릅니다.

$A$를 행 간소 사다리꼴로 만드는 것은 같지만,
방정식의 우변 $b$도 같이 계산을 해줘야 합니다.
쉽게 말해, $Ax$ = $b$를 $Rx$ = $d$로 만드는 것입니다.
보통 계산을 쉽게 하기 위해 첨가행렬 [$A$ $b$]를 이용합니다.

예를 들어 보겠습니다.
$Ax$ = $b$:

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array} \end{pmatrix}$

와 같은 행렬 방정식이 있으면,
다음 첨가행렬 [$A$ $b$]를 만들어서 소거를 진행합니다.

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 1 & 6 & 7\end{array} \end{pmatrix}$ 

이제 $Ax$ = $b$의 particular solution을 구할 준비가 됬습니다.
문제를 푸는 과정이 좀 길기 때문에 풀이과정은 다음 포스팅에 알려드리겠습니다.