3.3b 완전해 구하기

완전해를 구하기 위해서는 particular solution과 special solution을 모두 구해야 합니다. 이번 포스팅에서는 예제를 가지고 $Ax$ = $b$의 완전해를 구하는 법을 알아보겠습니다. 

Particular solution 구하기

전 포스팅에서 다음 첨가행렬[$A$ $b$]을 만드는 것까지 해봤습니다.

3.3a 완전해(Complete Solution): Ax = b

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 1 & 6 & 7 \end{array} \end{pmatrix}$ 

이제부터 [$R$ $d$]를 만들도록 하겠습니다.
먼저, 3행에서 1행을 빼주겠습니다.
 
$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$

다시 3행에서 2행을 빼줍니다.

그러면,

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$

이 됩니다.

 

여기서 피벗은 1열과 3열에 있습니다.

피벗은 모두 1이고 같은 열에 다른 성분들은 모두 0이므로,

구하려고 했던 [$R$ $d$]가 된 것입니다.

 

$Rx$ = $d$ 형식으로 쓰면,

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array} \end{pmatrix}$

$d$의 세 번째 성분이 0이기 때문에 이 방정식은 해를 가질 수 있습니다.

(0이 아니었다면 만족시킬 수 있는 $x$가 없습니다.)

Particular solution을 구할 때는 자유 변수를 모두 0으로 하고 $Rx$ = $d$를 풀면 됩니다.

위 예제에서는 $x_{2}$와 $x_{4}$가 자유 변수이므로, 

해는 $x_{p}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$.

이 해를 다시 $Rx$ = $d$에 대입하면,

$x_{1}$ = 1; $x_{3}$ = 6을 바로 구할 수 있습니다.

즉, $x_{p}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$.

 

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Special solution 구하기

Special solution을 구하려면 자유 변수를 1 또는 0으로 합니다.

(참조: 3.2b Special Solution)

따라서 special solution은 다음 두 개가 됩니다.

$x_{s1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ 1 \\ x_{3} \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$, $x_{s2}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ 0 \\ x_{3} \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

첫 번째를 $Rx$ = 0에 대입하면,

$x_{1}$ + 3 = 0;  $x_{3}$ = 0이 되고,

$x_{1}$ = –3;  $x_{3}$ = 0을 쉽게 구할 수 있습니다.

 

즉,

$x_{s1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$.

다음은 두 번째를 $Rx$ = 0에 대입하면,

$x_{1}$ + 2 = 0;  $x_{3}$ + 4 = 0이 되고,

$x_{1}$ = –2;  $x_{3}$ = –4를 쉽게 구할 수 있습니다.

 

즉,

$x_{s2}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ -4 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

종합하면 $Ax$ = 0의 해 $x_{n}$은

$x_{n}$ = $x_{2}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$ + $x_{4}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ -4 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$.

 

 

위에서 구한 해들을 종합하면,

 

완전해 $x$ = $x_{p}$ + $x_{n}$는

$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$ +$x_{2}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$ + $x_{4}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ -4 \\ 1 \end{array} \end{pmatrix}$ 

이 됩니다.