3.2e Rank One 행렬

Rank one 행렬은 말 그대로 랭크가 1인 경우를 의미합니다. 그리고 피벗 열이 하나이므로 이 행렬의 열공간은 1차원입니다. 이번 포스팅에서는 Rank one 행렬의 예를 가지고 공간들을 좀 더 잘 이해해보도록 하겠습니다.

 

먼저, 다음 Rank one 행렬 $A$의 예를 보겠습니다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 10 \\ 2 & 6 & 20 \\ 3 & 9 & 30 \end{array} \end{pmatrix}$.

$A$의 행 간소 사다리꼴은
 
$R$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

$R$을 구해보니 피벗이 하나밖에 없는 것을 알 수 있습니다.

즉, $A$의 피벗 열은 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$ 하나입니다.

따라서 열공간 $C(A)$는 위 열 벡터가 만드는 직선으로 표현될 수 있습니다.
(원점과 열 벡터의 성분을 $x,y,z$ 좌표로 하는 점을 연결한 직선)
다시 말해, $C(A)$는 1차원입니다.
그리고, $C(A)$와 $C(R)$은 같지 않습니다. 
주의하시기 바랍니다.

이제 피벗 열과 다른 열들의 관계를 보겠습니다.
피벗 열을 $u$라고 하고 $A$를 잘 보면,
2열과 3열은 각각 3$u$와 10$u$임을 알 수 있습니다.
다시 말해, 두 번째와 세 번째 열 벡터는 첫 번째와 같은 직선 상에 있습니다. 

또한 $A$를 열로 표현하면,
$A$ = [$u$ 3$u$ 10$u$] = $u$[1 3 10].
사실, 계수들을 모으면 R의 피벗 행과 같습니다.
(랭크가 1이므로, 첫 번째 행밖에 없습니다.)
뒤에서 배우겠지만, 행공간(row space)은 피벗이 있는 행들로 스팬 됩니다.

위 경우에서 행공간은 행 벡터 $v$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 10 \end{array} \end{pmatrix}$에 의해 스팬 됩니다.

행공간도 열공간과 마찬가지로 $v$가 만드는 1차원 직선입니다.

이제 다시 행렬을 보겠습니다.
$u$, $v$를 이용하면 행렬은 $A$ = $uv^{T}$로 쓸 수 있습니다.
(실제로, 계산해서 확인해 보시기 바랍니다.)

 

그리고 이 식을 행렬 방적식에 넣어보면, 
$Ax$ = 0 → $u(v^{T}x)$ = 0.
방정식을 만족하려면, $v^{T}x$ = 0이 돼야 합니다.
그리고 이것은 $v$ 와 $x$의 내적이므로, $v$ 와 $x$는 수직 해야 합니다.
여기서 $x$는 $Ax$ = 0의 해이므로, 영공간 $N(A)$에 속하는 벡터입니다.
즉, $N(A)$는 $v$에 수직 한 평면이 되겠습니다.

이전 포스팅(참조:)에서 $n$ – $r$ 은 영공간의 차원이라고 배웠습니다.
위 예에서 열의 개수 $n$은 3, 랭크 $r$은 1이므로, $n$ – $r$ = 2입니다.
즉, 영공간은 2로 평면이라는 것과 일치합니다.