4.4a 정규직교(Orthonormal) 벡터

정규직교는 벡터들이 서로 직교하고 길이가 1인 경우를 말합니다. 즉 벡터들은 단위 벡터입니다. 정규직교 벡터들로 이루어진 행렬 $Q$가 있다면, $Q^{T}Q$ = $I$입니다. 이것은 프로젝션을 계산할 때 식이 매우 간단해지는 이점이 있습니다.

정규직교의 정의

먼저 정규직교의 정의로 시작하겠습니다.
정의 벡터 $q_{1}$, …, $q_{n}$은 다음 조건을 만족하면 정규직교이다:
1) $i$ = $j$이면 $q_{i}^{T}q_{j}$ = 0.
2) $i$ ≠ $j$이면 $q_{i}^{T}q_{j}$ = 1.  

첫 번째는 다른 두 벡터의 내적이 0인 직교의 조건입니다.
두 번째는 벡터의 길이가 ||$q_{i}$|| = 1인 단위벡터의 조건입니다.
여기서는 정규직교인 벡터들은 $q_{i}$, 그리고 $q_{i}$들로 이루어진 행렬을 $Q$라고 쓰겠습니다. 

$Q^{T}Q$ = $I$

정규직교 벡터는 프로젝션의 계산을 간단하게 합니다.
이전에 배운 프로젝션의 식들은 $A^{T}A$를 포함하는데, 만약 $A$의 열들이 직교이면 $A^{T}A$는 대각행렬이 됩니다. 즉, 대각 성분 $(A^{T}A)_{ii}$ 외에는 모두 0입니다.

정규직교의 경우는 QTQ의 대각 성분 $(Q^{T}Q)_{ii}$가 모두 1이 됩니다.
즉, $Q^{T}Q$ = $I$입니다.

다음 식에서 확인하시기 바랍니다.

$Q^{T}Q$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{c} -q_{1}^{T}- \\ {\vdots} \\ -q_{n}^{T}- \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc} | & & | \\ q_{1} & {\vdots} & q_{n} \\ | & & | \end{array} \end{pmatrix}$  

 

= $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc} 1 & 0 & {\cdots} \\ 0 & 1 & {\cdots} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} \end{array} \end{pmatrix}$ = $I$

대각 성분, $q_{1}^{T}q_{1}$, …, $q_{n}^{T}q_{n}$들은 각 벡터의 길이의 제곱으로 1입니다. 
그리고 비대각(off-diagonal) 성분은 서로 수직인 벡터들의 내적이므로 모두 0입니다.

또한 $Q^{T}Q$ = $I$로부터 $Q^{T}$ = $Q^{-1}$임을 알 수 있습니다.

 

그럼 가장 간단한 2차원의 예를 보겠습니다.
다음과 같이 두 단위 벡터로 이루어진 $Q$를 만들 수 있습니다.

$Q$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array} \end{pmatrix}$ 

사실 $Q$는 고등학교에서 배운 회전행렬입니다.

$Q$의 각 열 벡터는

$q_{1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} cos\theta \\ sin\theta \end{array} \end{pmatrix}$와 $q_{2}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -sin\theta \\ cos\theta \end{array} \end{pmatrix}$. 

벡터들의 길이는 ||$q_{1}$|| = ||$q_{2}$|| = ($cos^{2}\theta$ + $sin^{2}\theta$)$^{\frac{1}{2}}$ = 1.

 

$q_{1}$· $q_{2}$ = $sin\theta$·$cos\theta$ – $sin\theta$·$cos\theta$ = 0.

 

즉, 두 벡터는 정규직교입니다.

그리고 $Q^{T}Q$는

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array} \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$.