1.1 벡터 (vector) & 선형 결합 (linear combination)

벡터는 선형 대수학에서 매우 중요한 개념입니다. 벡터는 크기와 방향을 갖는 개체이며, 좌표계에서 화살표 등으로 시각화되기도 합니다. 벡터들의 선형 결합은 선형 대수학의 중요한 시작점이 됩니다. 이 포스팅에서는 벡터 덧셈, 스칼라 곱셈, 그리고 선형 결합의 의미 등을 알아보겠습니다.

벡터(vector)

 

벡터는 크기와 방향을 갖는 개체입니다.

보통 좌표계에서 화살표로 표현됩니다.

 

선형 대수학에는 벡터에 대한 두 가지 중요한 연산이 있습니다.

먼저, 두 벡터 $v$와 $w$ 가 있다고 가정합시다.

 

그러면, 첫째 연산은 벡터 덧셈 (vector addition)입니다. 
이 연산은 벡터들을 더하여 $v$ + $w$를 얻습니다. 
두 번째 연산은 스칼라 곱셈 (scalar multiplication)입니다. 
이 연산은 벡터에 스칼라라고 불리는 숫자 $c$를 벡터 $v$에 곱하여 $cv$를 얻는 것입니다. 

여기서 스칼라는 크기만 갖는 숫자로 크기와 방향을 갖는 벡터와 대비됩니다.

 

벡터 $v$와 $w$에 각각 스칼라 $c$와 $d$를 곱하고, 이들을 더하면 $cv$ + $dw$를 얻습니다. 이 $cv$ + $dw$는 새로운 벡터이며, $v$와 $w$의 선형 결합이라고 합니다.

 

예를 들어, 두 벡터 $v$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 와 $w$ = $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 있다고 가정하면,
두 벡터의 합은 $v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.
이 합은 $c$ = $d$ = 1인 두 벡터의 선형 결합입니다.
만약, $c$ = 2, $d$ = 1 이라면, 이에 대응하는 선형 결합은 2$v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ 입니다.

벡터는 아래 그림과 같이 좌표계에 그릴 수 있습니다.

그림은 2차원 $xy$ 좌표계이고, 벡터는 두 성분(component) $v_{1}$, $v_{2}$를 갖습니다.
벡터 $v$는 원점 O (0, 0)에서 점 ($v_{1}$, $v_{2}$)까지의 화살표로 표현됩니다.

보통 벡터는 $v$ = $\begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}$ 또는 $v$ = ($v_{1}$, $v_{2}$) 등으로 씁니다.

 

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2차원 벡터 연산

 

벡터의 연산을 다시 보겠습니다.

스칼라 곱셈은 다음과 같이, 벡터의 각 성분에 스칼라를 곱해줍니다:

$cv$ = $\begin{bmatrix} cv_{1} \\ cv_{2} \end{bmatrix}$.

 

예를 들면, 2$v$ = $\begin{bmatrix} 2v_{1} \\ 2v_{2} \end{bmatrix}$ 이고, 이는 $v$ + $v$ 과 같습니다.
스칼라는 다음과 같이 음수도 될 수 있습니다:
$-v$ = $\begin{bmatrix} -v_{1} \\ -v_{2} \end{bmatrix}$. 이 벡터를 다른 벡터에 더하면 사실상 벡터 뺄셈을 해주는 것입니다.

두 벡터 $v$ = $\begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}$ 와 $w$ = $\begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{bmatrix}$ 이 있다고 가정하면, 두 벡터의 합은
$v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} v_{1} + w_{1} \\ v_{2} + w_{2} \end{bmatrix}$ 입니다.

위의 $v$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $w$ = $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 의 예에서 선형 결합 3$v$ + 5$w$ 는 
3$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ + 5$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} 10 \\ 15 \end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix} 3 + 10 \\ 3 + 15 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 13 \\ 18 \end{bmatrix}$과 같이 계산할 수 있습니다.

 

벡터의 연산을 python 프로그램을 이용해서 계산할 수 있는데요. 

관심이 있으시면 아래 링크를 참조하시기 바랍니다.

Python과 선형대수: numpy를 이용한 벡터 연산

 

3차원 벡터 연산

 

3차원의 경우는 벡터가 다음과 같이 성분을 하나 더 갖습니다:

$v$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$, $w$ = $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.

이 경우도 마찬가지로 벡터를 xyz 공간 좌표계에서 화살표로 그릴 수 있습니다.

 

두 벡터의 합은 역시 각 성분끼리 더하면 됩니다:

$v$ + $w$ = $\begin{bmatrix} 1 + 2 \\ 1 + 3 \\ -1 + 4 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$.

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선형 결합 (linear combination)

 

이제 선형 결합의 의미를 좀 더 살펴보겠습니다.
방향이 다른 두 벡터 $v$, $w$ 의 선형 결합 $cv$ + $dw$는 2차원에서는 $xy$ 평면 전체를 채울 수 있습니다. 여기서 채운다는 것은 선형 결합이 $xy$ 평면의 모든 점을 가리킬 수 있다는 것입니다.

3차원에서는 방향이 다른 두 벡터는 평면을 채울 수 있습니다. 이때는 꼭 $xy$ 평면일 필요는 없습니다. 그리고 두 벡터가 만드는 평면에 포함되지 않는 세 번째 벡터를 추가하면, 세 벡터의 선형 결합은 3차원 공간을 채울 수 있습니다.

세 개의 다른 벡터 $u$, $v$, $w$가 있다고 할 때:
1) 한 벡터의 선형 결합 $cu$는 원점을 통과하는 선을 채운다.
2) 두 벡터의 선형 결합 $cu$ + $dv$는 원점을 포함하는 평면을 채운다.
3) 세 벡터의 선형 결합 $cu$ + $dv$ + $ew$는 3차원 공간을 채운다.
이때 세 벡터 모두 다른 벡터들의 선형 결합이 아닙니다.

 

예를 들어, 두 벡터 $v$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 와 $w$ =$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 가 있다고 하면, 선형 결합 $av$ + $bw$는 $xy$ 평면을 채웁니다.

 

그러면, 다른 두 벡터의 예를 보자. $v$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 와 $w$’ =$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 가 있다고 가정하면, 두 벡터의 선형 결합도 역시 $xy$ 평면을 채웁니다.

 

사실, $w$’는 $v$ 와 w의 합이고, 따라서 선형 결합 $av$ + $bw$’는 $av$ + $b$($v$ + $w$)와 같다.이는 다시 $(a+b)v$ + $bw$ = $a$’$v$ + $bw$ 이므로 $v$ 와 $w$의 선형 결합입니다. 

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예제 1

 

세 개의 방정식 $\begin{matrix} c + 2d = 1 \\ c + 3d = 0 \\ c + 4d = 0\end{matrix}$ 은 우변 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$  이 좌변 $c$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ + $d$$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$의 평면 위에 있지 않기 때문에 해가 없다.

 

위 방정식들은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$c$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ + $d$$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 

이 방정식이 해를 가지려면, 좌변과 우변이 같아지는 c, d가 존재해야 합니다. 
사실 좌변은 두 벡터 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 와 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$의 선형 결합이고, 두 벡터가 만드는 평면으로 표현될 수 있습니다. 
따라서 위 방정식이 해를 가지려면 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$이 그 평면 위에 있어야 합니다.

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예제 2

 

Find two equations for $c$ and $d$ so that the linear combination $cv$ + $dw$ equals $b$:
$v$= $\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$, $w$ = $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$,  $b$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

 

방정식 $cv$ + $dw$ = $b$ 를 다시 쓰면,
$c$$\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ + $d$$\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$. => $\begin{bmatrix} 2c \\ -c \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} -d \\ 2d \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$. => $\begin{bmatrix} 2c - d \\ -c + 2d \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

 

따라서 찾고자 하는 두 방정식은
–$c$ + $2d$ = 0 과 $2c$ – $d$ = 1 입니다.

 

이를 계속 풀어보면,
–$c$ + $2d$ = 0에서 $c$ = $2d$. 이를 $2c$ – $d$ = 1 에 대입 하여 풀면, $d$ = 1/3. 다시 $c$ = $2d$ 에서 $c$ = 2/3 임을 알 수 있습니다.

 

연습 문제 풀이는 아래 링크를 참조하세요.

1.1a 벡터 선형 결합의 기하학적 표현

 

1.1b 벡터의 덧셈, 뺄셈

 

1.1c 벡터의 성분, 선형 결합

 

1.1d 단위 벡터, 정육면체, xyz 공간 문제

 

1.1e 벡터의 연산, 시계 문제

 

1.1f 벡터의 선형 결합 그리기 문제-2차원