1.3 행렬 (2)

행렬 방정식은 1차 연립 방정식과 대응될 수 있습니다. 따라서 행렬 방정식을 풀면 연립 방정식의 해(solution)를 구할 수 있는 것입니다. 이번 포스팅에서는 행렬 방정식을 푸는데 도움이 되는 역행렬, 선형 독립의 개념을 알아보겠습니다.

 

연립 방정식

바로 전 포스팅에서 행렬 방정식 $Ax$ = $b$를 살펴봤습니다.
앞서 배운 내용은 $Ax$가 열 벡터들의 선형 결합이고, 이것이 $b$와 같다는 데 초점을 맞췄다면, 이번에는 $A$와 $b$를 알고 있을 때, $x$의 해를 구하는 내용입니다.

사실, $Ax$ = $b$는 연립방정식으로 쓸 수 있습니다.
앞서 봤던 예를 다시 보겠습니다.
$Ax$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix}$

이를 전개하면,
$\begin{matrix} \begin{array}{rrrrrrr} x_{1} & & & & & = & b_{1} \\ -x_{1} & + & x_{2} & & & = & b_{2} \\ & - & x_{2} & + & x_{3} & = & b_{3} \end{array} \end{matrix}$
이는 우리가 익숙한 (1차) 연립 방정식입니다.

이를 대입하여 풀면 다음과 같이 $b$의 성분 값에 따라 해를 구할 수 있습니다.
$x_{1}$ = $b_{1}$
$x_{2}$ = $b_{1}$ + $b_{2}$
$x_{3}$ = $b_{1}$ + $b_{2}$ + $b_{3}$

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역행렬 (inverse)

선형 대수학에서는 행렬을 이용해 연립방정식의 해를 구하는 방법을 배울 것입니다.

 

먼저, 2 × 2, 3 × 3, … 와 같이 행과 열의 수가 같은 정방행렬의 경우를 보겠습니다.
이는 방정식의 수와 미지수의 수가 같은 경우입니다.
이 경우는, $A$가 역행렬 (inverse) $A^{-1}$을 갖을 수 있습니다. 

 

역행렬은 원래의 행렬에 곱했을 때 단위행렬 (identity matrix) $I$가 되는 행렬입니다.
즉, $A$$A^{-1}$ = $A^{-1}$$A$ = $I$. 

 

단위행렬은 $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$ 과 같이 벡터나 행렬에 곱했을 때, 원래 벡터나 행렬이 되는 행렬입니다.
즉, $Ix$ = $x$ 또는 $IA$ = $A$ 입니다.

 

행렬이 역행렬을 갖는 경우, 그 행렬을 가역행렬 (invertible matrix)라고 합니다.

다시 행렬 방정식 $Ax$ = $b$를 보겠습니다.
양변에 역행렬을 곱하면 방정식은 $A^{-1}$$Ax$ = $A^{-1}b$가 되고, 이는 $x$ = $A^{-1}b$와 같습니다.
다시 말해, 방정식의 해는 $x$ = $A^{-1}b$가 됩니다.

여기서, 해가 $b$에 의존하는 것을 알 수 있습니다.
예를 들어, 위의 연립방정식의 예에서,
$b$ = $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 이면 해는 $x$ = $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$이고, $b$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$면 $x$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{bmatrix}$입니다.

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고등학교에서 2 × 2 행렬 $A$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{bmatrix}$에 대한 다음과 같은 역행렬 공식을 배웠습니다:

 

$A^{-1}$ = $\frac{1}{ad-bc}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \end{bmatrix}$.

 

하지만 3 × 3보다 큰 행렬의 역행렬은 행렬식 (determinant)도 배워야 하기 때문에, 나중으로 미루겠습니다.

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선형 독립 (linear independence)

마지막으로 벡터의 선형 독립에 대해 간단히 이야기해보겠습니다.

세 개의 열 벡터 $u$, $v$, $w$로 만들어진 행렬 $A$가 있다고 가정합시다.

 

앞서, 행렬 방정식 $Ax$ = $b$에서 좌변은 세 벡터의 선형 결합이라고 배웠습니다. 
$b$ = 0 일 때, 방정식을 만족하는 선형 결합이 $0u$+ $0v$ +$0w$ 이외에 없는 경우, $u$, $v$, $w$ 독립합니다. 이때, $A$는 가역 행렬입니다.

반대로, $0u$+ $0v$ +$0w$이외의 선형 결합이 0이 되는 경우, 세 벡터는 독립하지 않고, A도 역행렬을 갖지 않습니다. 이 경우, 세 벡터 중 하나는 다른 두 벡터의 선형 결합이 됩니다. 후에 소거법 (elimination)과 행렬식을 배우면 왜 역행렬을 갖지 않는지 알 수 있습니다.

 

1장 3절에 대한 연습 문제 풀이는 아래 링크를 참조하세요.

1.3a 행렬-벡터 곱, 행렬방정식, 선형 독립 등의 연습문제(1~4)

1.3a 행렬-벡터 곱, 행렬방정식, 선형 독립 등의 연습문제(1~4)

1.3b 행렬의 행과 열의 선형 독립 등의 연습문제(5~8)

1.3b 행렬의 행과 열의 선형 독립 등의 연습문제(5~8)

1.3c 사이클릭 차분행렬의 해, 역행렬등의 연습문제(9~12)

1.3c 사이클릭 차분행렬의 해, 역행렬등의 연습문제(9~12)