1.3 행렬 (1)

행렬은 선형 대수학의 핵심이라고 할 수 있다. 행렬은 행과 열을 갖는 수학적 표현 방법입니다.

행렬과 벡터의 곱은 앞서 배운 벡터들의 선형 결합으로 볼 수 있습니다.

또한 행렬 방정식은 선형 대수학에서 계속 보게 될 문제입니다.

행렬 (Matrix)

 

다음 세 벡터를 가지고 시작해 보겠습니다.

 

$u$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \end{bmatrix}$  $v$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \end{bmatrix}$  $w$ = $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

각 벡터는 세 개의 성분이 있고, 3차원 공간에 그릴 수 있습니다.
또한, 세 벡터의 선형 조합 $x_{1}u$ + $x_{2}v$ + $x_{3}w$은 전체 3차원 공간을 채웁니다.

이 선형 결합은 열(column) 형식을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

 

$x_{1}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \end{bmatrix}$ + $x_{2}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \end{bmatrix}$ + $x_{3}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} - x_{1} \\ x_{3} - x_{2} \end{bmatrix}$

이 식은 다시 행렬을 이용하여 쓸 수 있습니다.
행렬은 세 벡터를 합쳐서 만듭니다.
여기서 행렬은 $A$라고 하겠습니다.
또한 계수 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$를 포함 하는 열 벡터 $x$를 만듭니다.

 

그러면 위의 선형 결합은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

$Ax$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} - x_{1} \\ x_{3} - x_{2} \end{bmatrix}$

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행렬의 행과 열 (Row & column)

다음 행렬 $A$가 있습니다.

 

$A$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \end{bmatrix}$

 

$A$는 3 × 2 (3 곱하기 2; 영어로 3 by 2) 행렬이라 합니다.
3개의 행과 2개의 열로 이루어졌다는 뜻입니다.

 

행렬과 벡터를 곱할 때는, 행렬의 열의 수와 벡터의 성분의 수가 같아야 합니다. 
위 3 곱하기 2 행렬은 다음과 같이 두 개의 성분을 갖는 벡터와 곱할 수 있습니다:

 

$Ax$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$. 여기서, $x$ = $\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$.

그리고 이 것은 다음과 같이 열의 선형 결합으로 표현할 수 있습니다:

 

$Ax$ = $x_{1}$$\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$ +  $x_{2}$$\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}$.

 

이는 왜 열의 수와 벡터 성분의 수가 같아야 하는지 잘 보여줍니다.

 

행렬과 벡터의 곱에는 다른 방법도 있습니다.
아마도 고등학교에서는 다음과 같이 행과 벡터를 내적 하는 방법을 배웠을 것입니다:

 

$Ax$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} (1, 2){\cdot}(x_{1}, x_{2}) \\ (3, 4){\cdot}(x_{1}, x_{2}) \\ (5, 6){\cdot}(x_{1}, x_{2}) \end{bmatrix}$.

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행렬 방정식 (Matrix equation)

다시 처음 예로 돌아갑시다.

 

$Ax$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$ 

$Ax$는 세 성분을 갖는 벡터인데, 이를 $b$라고 하면, 다음 행렬 방정식을 쓸 수 있습니다:

 

$Ax$ = $b$ = $\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix}$.

 

그리고, 실제 $A$와 $x$를 곱하면 다음 관계를 알 수 있습니다:

 

$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} - x_{1} \\ x_{3} - x_{2} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix}$.

행렬 방정식 $Ax$ = $b$는 선형 대수를 공부하면서 자주 보게 될 것입니다.
*$Ax$ 는 열 벡터의 선형 결합임을 잊지 말자. 열공간을 공부할 때 기억해야 합니다.

 

1장 3절의 연습 문제 풀이는 아래 링크에 있습니다.

1.3a 행렬-벡터 곱, 행렬방정식, 선형 독립 등의 연습문제(1~4)

1.3a 행렬-벡터 곱, 행렬방정식, 선형 독립 등의 연습문제(1~4)

1.3b 행렬의 행과 열의 선형 독립 등의 연습문제(5~8)

1.3b 행렬의 행과 열의 선형 독립 등의 연습문제(5~8)

1.3c 사이클릭 차분행렬의 해, 역행렬등의 연습문제(9~12)

1.3c 사이클릭 차분행렬의 해, 역행렬등의 연습문제(9~12)