2.5 역행렬 (inverse matrix)

역행렬은 원래 행렬에 곱해졌을 때 단위행렬을 만들어 주는 행렬입니다. 주어진 행렬에 대해 역행렬은 단 하나만 존재합니다. 그리고 역행렬은 원래 행렬이 행한 연산을 되돌립니다. 예를 들면, 소거행렬의 역행렬은 소거 이전의 행렬로 돌려놓는 행렬입니다. 역행렬의 특징들을 알아보겠습니다. 

 

역행렬, 가역행렬, 역행렬의 특징

정방 행렬 $A$가 역행렬($A^{-1}$)을 가지면 가역적(invertible)이라고 합니다.
그리고 $A$를 가역행렬이라고 합니다. 

 

역행렬은 $A^{-1}A$ = $I$ 그리고 $AA^{-1}$ = $I$을 만족하는 행렬입니다. 
이는 $A$가 어떤 연산을 하든 역행렬 $A^{-1}$에 의해 취소됨을 의미합니다. 
따라서 $A$와 $A^{-1}$의 곱은 벡터에 아무런 변화를 만들어 내지 않습니다.
즉, $A^{-1}Ax$는 $x$입니다.

 

단, $A^{-1}$은 항상 존재하지는 않는다는 것을 주의해야 합니다.

그러면 역행렬에 대한 6가지 중요한 노트를 살펴보겠습니다. 

노트 1. 역행렬은 소거법이 열의 수와 같은 피벗을 생성하는 경우에만 존재한다. 또는 행렬 방정식의 미지수와 같은 수의 피벗을 생성하는 경우에만 역행렬이 존재한다. 이는 역행렬이 존재하는 경우 소거를 통해 행렬 방정식을 풀 수 있음을 의미한다. 방정식을 풀 수 없으면 역행렬은 존재하지 않는다.

노트 2. 행렬 $A$는 두 개의 다른 역행렬을 가질 수 없다. 

즉, 역행렬은 단 하나만 존재한다. 

 

증명) 임의의 두 행렬 $B$와 $C$가 모두 $A$의 역행렬이라고 가정하겠습니다. 
그러면, $BA$ = $I$ 그리고 $AC$ = $I$입니다.

$B$는 좌측 역행렬, $C$는 우측 역행렬입니다.

결합법칙에 의하면, 다음 등식 $B(AC)$ = $(BA)C$은 참입니다. 
$B$와 $C$를 역행렬이라고 가정하였기 때문에 괄호 안은 단위 행렬이됩니다. 
따라서 $BI$ = $IC$ 이고, $B$와 $C$는 같아야 합니다.
이는 $A$에 대해 하나의 역행렬만 존재한다는 것을 의미합니다.

* 또한 중요한 것은 좌측이든 우측이든 역행렬인 것만 보이면 양쪽 모두 보인 것과 같습니다.

노트 3. $A$가 역행렬을 가지면 행렬 방정식 $Ax$ = $b$는 하나의 해 $x$ = $A^{-1}b$를 갖는다. $Ax$ = $b$의 양쪽에 $A^{-1}$을 곱하면, $A^{-1}Ax$ = $A^{-1}b$. 
$A^{-1}A$는 $I$ 이므로, 위 식은 $x$ = $A^{-1}b$가 된다.

노트 4. $Ax$ = 0을 만족하는 0이 아닌 벡터 $x$가 있다면 $A$는 역행렬을 가질 수 없다.
$A$가 역행렬을 갖는다면 $Ax$ = 0의 양변에 $A^{-1}$를 곱한다.
$A^{-1}Ax$ = $A^{-1}$0 = 0.
즉, $x$ = 0이다.
따라서 0이 아닌 $x$가 있다면, 역행렬을 갖는 $A$는 $Ax$ = 0을 충족할 수 없다.

노트 5. 2 × 2 행렬 $A$ = $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$는 $ad$ – $bc$가 0이 아닌 경우에만 역행렬을 갖는다.

 

이는 2 × 2 역행렬의 공식, $A^{-1}$ = $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \end{pmatrix}$ 에서 분자 $ad$ – $bc$가 0이 될 수 없기 때문이다.
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노트 6. 대각행렬은 모든 대각 성분이 0이 아닐 때만 역행렬이 있다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} d_{1} & & \\ & {\ddots} & \\ & & d_{n} \end{array} \end{pmatrix}$ 이면 $A^{-1}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1/d_{1} & & \\ & {\ddots} & \\ & & 1/d_{n} \end{array} \end{pmatrix}$

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행렬 곱의 역행렬

 

다음은 두 행렬의 곱 $AB$의 역함수를 살펴보겠습니다.
$AB$는 $A$와 $B$가 개별적으로 가역적일 때만 역행렬을 갖습니다.
$AB$의 역행렬은 $(AB)^{-1}$ = $B^{-1}A^{-1}$.

 

우변에서 $A^{-1}$과 $B^{-1}$의 순서가 바뀐것을 볼 수 있습니다.
이를 $AB$에 곱하면 순서가 반대로 된 이유를 알 수 있습니다.
$(AB)B^{-1}A^{-1}$ = $A(BB^{-1})A^{-1}$ = $AIA^{-1}$ = $AA^{-1}$ = $I$.

 

또한 $B^{-1}A^{-1}(AB)$ = $B(AA^{-1})B^{-1}$ = $BIB^{-1}$ = $BB^{-1}$ = $I$.

 

다음과 같이 3개 이상의 행렬의 행렬에 곱에도 똑같이 적용됩니다.
$(ABC)^{-1}$ = $C^{-1}B^{-1}A^{-1}$.