2.2 소거법 (Elimination) (1)

소거법(Elimination)은 두 개 이상의 방정식에서 미지수를 차례로 제거하여 방정식의 해를 찾아가는 방법입니다. 소거법으로 원래 방정식들을 바꿔도 해는 똑같습니다. 이번 포스팅에서는 소거법에 관련된 용어 피벗(pivot)과 multiplier 등을 알아보겠습니다.

 

소거법 (Elimination)

 

이번 시간에는 소거법을 이용하여 선형 방정식을 풀겠습니다. 

 

이미 소거법을 잘 알고 있다고 해도, 이번 내용을 복습하길 바랍니다. 

대학 선형 대수학에서 쓰는 새로운 용어들도 나오고, 소거법을 시각화하여 뒤에 나올 행렬 방정식 문제를 이해하는데 도움을 줄 것입니다. 

 

그러면, 다음 두 개의 선형 방정식으로 시작해보겠습니다.

첫 번째 방정식(지금부터, 1번 방정식)에 3을 곱하고 두 번째 방정식(2번 방정식)에서 빼면 8$y$ = 8을 얻을 수 있습니다.

양변을 8로 나누면 쉽게 $y$ = 1을 얻습니다.

이 값을 다시 위에 방정식에 대입하면  $x$ = 3입니다.

이 값들은 연립 방정식의 해입니다.

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Multiplier

위 예에서 2번 방정식의 $3x$를 제거하기 위해 1번 방정식에 3을 곱하여 빼주었습니다. 

이 과정에서 곱해주는 수를 multiplier라고 합니다. 

즉, 위에서 multiplier는 3입니다. 

 

만약, 위 예에서 1번 방정식을 $4x$ – $8y$ = 4로 바꾸면, multiplier는 3/4가 됩니다. 

Multiplier는 아래 방정식의 미지수를 제거하기 위해 위 방정식에 곱해줘야 하는 수입니다. 

이처럼 multiplier를 이용해 미지수들을 제거하면 위 그림에서와 같이 상부 삼각형(upper triangle) 형태를 만들게 됩니다. 이 삼각형 패턴은 나중에 행렬을 배울 때, 많이 보게 되니 기억하도록 합시다. 

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피벗 (pivot)

피벗은 제거를 수행하는 행의 첫 번째 0이 아닌 계수를 의미합니다. 

여기서 ‘제거를 수행하는 행’은 위 예에서 1번 방정식($x – 2y = 1$)을 의미합니다. 

이때, 0이 아닌 첫 번째 계수는 $x$의 1입니다. 

따라서, 피벗은 1입니다.

만약, 1번 방정식이 $4x$ – $8y$ = 4이면, 피벗은 4가 됩니다.

 

이제 multiplier는 다음과 같이 설명할 수 있습니다:
Multiplier = 제거하려는 미지수의 계수/피벗.

소거 후 새로운 방정식 $8y$ = 8을 갖는데, 여기서 피벗은 8입니다.
즉, 두번째 피벗은 8입니다.

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소거법의 시각화

다음과 같이 연립 방정식은 $xy$평면 위에 직선들로 그릴 수 있습니다.

(row picture 참조 - 2.1 벡터와 선형 방정식)

그림에서 왼쪽은 소거 전, 오른쪽은 소거 후입니다. 

소거 전후 1번 방정식은 그대로이지만, 2번 방정식은 $8y$ = 8로 변했습니다. 

이 때문에 그림은 달라졌지만, 중요한 것은, 방정식의 해는 변하지 않는다는 것입니다. 

즉, 소거를 해도 직선들의 교점은 변하지 않습니다. 

우리가 소거법을 이용해 연립 방정식을 풀 수 있는 이유입니다.

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소거법의 실패

다음은 소거법이 실패하는 경우를 살펴보겠습니다.

 

소거 전:

  $x$ – 2$y$ = 1
3$x$ + 2$y$ = 11

 

소거 후:

 $x$ – 2$y$ = 1
         0$y$ = 8

첫 번째는 해가 없는 경우입니다.

위 예에서 피벗은 1, multiplier는 3입니다. 

소거법으로 2번 방정식에서 $3x$를 제거하면 $0y$ = 8을 얻습니다. 

하지만, $y$가 어떤 값이 되더라도 이 식을 만족할 수 없습니다. 

 

따라서 이 연립 방정식은 해가 없습니다. 
이 경우는 두 번째 피벗이 없습니다.

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두 번째는 해가 무수히 많은 경우입니다. 

 

소거 전:
  $x$ – 2$y$ = 1
3$x$ – 6$y$ = 3

소거 후:
 $x$ – 2$y$ = 1
         0$y$ = 0

앞서 예에서 2번 방정식의 우변은 3으로 바뀌었습니다. 

이 경우도 두 번째 피벗은 없습니다. 

소거 후 2번 방정식 $0y$ = 0은 $y$값에 상관없이 만족합니다. 
따라서 두 방정식을 만족하는 $x$, $y$값은 무수히 많습니다.

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세 번째는 일시적으로 소거법이 실패하는 경우입니다.

 

0$x$ + 2$y$ = 4
3$x$ – 2$y$ = 5

이 경우는 소거법으로 2번 방정식의 $3x$를 제거할 수 없습니다.

이 경우는 방정식들의 순서를 바꾸어서(치환) 소거법이 가능하게 할 수 있습니다.