2.1 벡터와 선형 방정식 (Vectors & Linear Equations)

선형 방정식을 이해하는 방식에는 두 가지가 있습니다. 행의 관점에서 보는 row picture와 열의 관점에서 보는 column picture입니다. 전자는 연립 방정식을 풀어 해를 구하는 관점이고, 후자는 방정식들의 좌변을 벡터의 선형 결합으로 보는 관점입니다.

 

Row Picture

 

다음은 미지수가 둘인 두 개의 선형 방정식입니다.
$x$ – $2y$ = 1
$3x$ + $2y$ = 11

 

이 방정식들은 두 가지 다른 방식으로 이해할 수 있습니다.
첫 번째는 행(row)의 관점에서 보는 row picture입니다.

 

우리는 이미 1장에서 위 연립 방정식이 행렬 방정식으로 쓸 수 있다는 것을 배웠습니다. 

행렬의 행들은 방정식에 대응된다고 볼 수 있습니다.

사실, 이 방식은 여러분이 익숙한 것입니다.
위의 두 방정식을 xy 평면에 그려 보겠습니다.

각 방정식은 직선으로 표현되고 두 선이 만나는 교점 (3, 1)은 두 방정식의 해(solution)가 됩니다. 

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Column Picture

 

두 번째 방식은 1장에서 배운 column picture입니다.

두 방정식은 다음과 같이 벡터의 선형 결합(좌변)과 벡터 $b$의 등식으로 표현됩니다.
$x$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 3 \end{array} \end{bmatrix}$ + $y$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 2 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 11 \end{array} \end{bmatrix}$ = $b$.

 

우리는 이미 row picture에서 $x$ = 3 and $y$ = 1이라는 것을 확인했습니다.
위 식에 해를 대입하면, 다음과 같이 등식이 만족합니다:
 3·$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 3 \end{array} \end{bmatrix}$ + 1·$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 2 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 11 \end{array} \end{bmatrix}$.

 

Column picture는 좌변의 벡터들이 선형 결합하여 우변의 벡터 $b$를 만드는 모습으로 묘사됩니다.
위 식은 1장에서 배운 벡터의 두 가지 연산, 스칼라 곱셈 과 벡터 덧셈으로 나눌 수 있습니다.

 

스칼라 곱셈 3$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 3 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 9 \end{array} \end{bmatrix}$.

 

벡터 덧셈 $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 3 \\ 9 \end{array} \end{bmatrix}$   + $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} -2 \\ 2 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 11 \end{array} \end{bmatrix}$

이러한 연산 과정들은 다음 그림으로 표현될 수 있습니다:

앞서 말한대로, 두 방정식은 다음과 같은 행렬 방정식으로 다시 쓸 수 있습니다:

 

$Ax$ = $b$, $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 11 \end{array} \end{bmatrix}$.

2장에서는 위와 같은 행렬 방정식들을 푸는 방법을 배우게 될 것입니다.